1984 AMC 12 第 12 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1984 AMC 12 第 12 题

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12.

若数列 $\{a_n\}$ 定义为 $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1) \end{aligned}\text{，}$ 则 $a_{100}$ 等于

If the sequence $\{a_n\}$ is defined by $\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}$ then $a_{100}$ equals

$9900$

$9902$

$9904$

$10100$

$10102$

答案：B

知识点：递推等差数列求和

难度评级：1800

小提示：

将从 $a_1$ 到 $a_{100}$ 的所有增量相加

Add all increments from $a_1$ through $a_{100}$

大提示：

使用 $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

Use $a_{100}=2+2(1+2+\cdots+99)$

解答：

将递推式逐项相消，得到 $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902 \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 B。

Telescoping the recurrence gives $\begin{aligned} a_{100} &=a_1+2\sum_{n=1}^{99}n\\ &=2+2\cdot\frac{99\cdot100}{2}\\ &=9902. \end{aligned}$ Therefore, the correct answer is B.

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