Question

$x$ 取何值时， $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40 \end{aligned}\text{？}$

For what value of $x$ does $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

$8$

$16$

$32$

$256$

$1024$

答案：D

知识点：对数

难度评级：1500

小提示：

把每一项都换成以 $2$ 为底；设 $L=\log_2 x$

Convert every term to base $2;$ let $L=\log_2 x$

大提示：

五项中的每一项都化简为 $L$

Each of the five terms simplifies to $L$

解答：

设 $L=\log_2 x$ 。把每一项都换成以 $2$ 为底：

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L$ ， $\log_2 x=L$ ， $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L$ ， $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L$ ，且 $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L$ 。

方程变为 $5L=40$ ，所以 $L=8$ ， $x=2^8=256$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $L=\log_2 x.$ Converting each term to base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ and $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

The equation becomes $5L=40,$ so $L=8$ and $x=2^8=256.$

Thus, the correct answer is D.

2010 AMC 12B 第 12 题

答案：D

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题