Question

在 $\triangle ABC$ 中， $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ ，且 $AB=4$ 。求 $BC$ ？

In $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ and $AB=4.$ What is $BC?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

一个余弦和一个正弦都至多为 $1$ ，所以两者都必须等于 $1$

Both a cosine and a sine are at most $1,$ so each must equal $1$

解 $2A-B=0^\circ$ 和 $A+B=90^\circ$ ，以确定三角形

Solve $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ$ to identify the triangle

一个余弦值加一个正弦值等于 $2$ ，只能是两者都等于 $1$ 。因此 $\cos(2A-B)=1$ 且 $\sin(A+B)=1$ ，得 $2A-B=0^\circ$ 和 $A+B=90^\circ$ 。

解得 $A=30^\circ$ ， $B=60^\circ$ ，所以 $\triangle ABC$ 是直角在 $C$ 的 $30\text{-}60\text{-}90$ 直角三角形。

斜边 $AB=4$ 而 $BC$ 是 $30^\circ$ 角所对的边，等于斜边的一半，所以 $BC=2$ 。

因此，正确答案是 C。

A cosine plus a sine equals $2$ only when each equals $1.$ So $\cos(2A-B)=1$ and $\sin(A+B)=1,$ giving $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ.$

Solving, $A=30^\circ$ and $B=60^\circ,$ so $\triangle ABC$ is a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle with the right angle at $C.$

With hypotenuse $AB=4,$ the side $BC$ opposite the $30^\circ$ angle is half the hypotenuse, so $BC=2.$

Thus, the correct answer is C.