Question

函数 $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ 的图像有一条对称轴。点 $\left(-1,\tfrac12\right)$ 关于这条对称轴的反射点是什么？

The graph of $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ has an axis of symmetry. What is the reflection of the point $\left(-1,\tfrac12\right)$ over this axis?

$\left(-1,-\tfrac32\right)$

$(-1,0)$

$\left(-1,\tfrac12\right)$

$\left(0,\tfrac12\right)$

$\left(3,\tfrac12\right)$

答案：D

知识点：函数对称性

难度评级：1660

小提示：

对称轴是函数取得最小值处的竖直直线 $x=c$ 。

The axis of symmetry is the vertical line $x=c$ where the function attains its minimum

大提示：

令导数 $e^{x+1}-e^{-x}=0$ 来求 $c$ ，再把 $x=-1$ 关于它反射

Set the derivative $e^{x+1}-e^{-x}=0$ to find $c,$ then reflect $x=-1$ across it

解答：

曲线 $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ 关于其最小值所在的竖直直线对称。令导数 $e^{x+1}-e^{-x}=0$ 得到 $x+1=-x$ ，所以 $x=-\tfrac12$ 。把 $\left(-1,\tfrac12\right)$ 关于 $x=-\tfrac12$ 反射， $y$ 坐标不变， $x=-1$ 变为 $x=0$ 。反射点是 $\left(0,\tfrac12\right)$ 。因此正确答案是 D。

The curve $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ is symmetric about the vertical line through its minimum. Setting the derivative $e^{x+1}-e^{-x}=0$ gives $x+1=-x,$ so $x=-\tfrac12.$ Reflecting $\left(-1,\tfrac12\right)$ across $x=-\tfrac12$ keeps the $y$ -coordinate and sends $x=-1$ to $x=0.$ The image is $\left(0,\tfrac12\right).$ Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 13 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题