Question

设 $\mathcal{R}$ 是复平面中的一个区域，由所有可写成复数 $z_1$ 与 $z_2$ 之和的复数 $z$ 组成，其中 $z_1$ 在线段上，该线段的端点为 $3$ 和 $4i$ ，且 $z_2$ 的模至多为 $1$ 。最接近 $\mathcal{R}$ 面积的整数是多少？

Let $\mathcal{R}$ be the region in the complex plane consisting of all complex numbers $z$ that can be written as the sum of complex numbers $z_1$ and $z_2,$ where $z_1$ lies on the segment with endpoints $3$ and $4i,$ and $z_2$ has magnitude at most $1.$ What integer is closest to the area of $\mathcal{R}?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

答案：A

知识点：面积距离公式

难度评级：1660

小提示：

$\mathcal{R}$ 是到该线段距离不超过 $1$ 的所有点

$\mathcal{R}$ is the set of all points within distance $1$ of the segment

大提示：

线段长度为 $5$ ，所以 $\mathcal{R}$ 是一个 $5\times2$ 的矩形加上两个半圆

The segment has length $5,$ so $\mathcal{R}$ is a $5\times2$ rectangle capped by two half-disks

解答：

给线段上的每个点加上半径为 $1$ 的圆盘，会扫出所有到该线段距离不超过 $1$ 的点。从 $3$ 到 $4i$ 的线段长度为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$ 。

这个“体育场”形状由一个 $5\times2$ 的矩形和两个半径为 $1$ 的半圆组成，面积为 $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14\text{。}$

最接近的整数是 $13$ 。

因此，正确答案是 A。

Adding a disk of radius $1$ to every point of the segment sweeps out all points within distance $1$ of it. The segment from $3$ to $4i$ has length $\sqrt{3^2+4^2}=5.$

This “stadium” is a $5\times2$ rectangle plus two half-disks of radius $1,$ with area $5\cdot2+\pi(1)^2=10+\pi\approx13.14.$

The closest integer is $13.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12A 第 13 题

答案：A

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题