Question

对多少个整数 $k$ ，图像 $x^2+y^2=k^2$ 与 $xy=k$ 不相交？

For how many integer values of $k$ do the graphs of $x^2+y^2=k^2$ and $xy=k$ not intersect?

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

答案：C

知识点：圆双曲线分类讨论

难度评级：1590

小提示：

当 $k\ne0$ 时， $x^2+y^2=k^2$ 是半径为 $|k|$ 的圆，而 $xy=k$ 是双曲线。

For $k\ne0,$ $x^2+y^2=k^2$ is a circle of radius $|k|$ and $xy=k$ is a hyperbola

大提示：

双曲线上离原点最近的点到原点距离为 $\sqrt{2|k|}$ ；把它与半径 $|k|$ 比较。

The hyperbola’s points closest to the origin are at distance $\sqrt{2|k|};$ compare with the radius $|k|$

解答：

当 $k=0$ 时， $x^2+y^2=0$ 的图像是单点 $(0,0)$ ，而 $xy=0$ 是两条坐标轴，它们在原点相交。

当 $k\ne0$ 时，圆的半径为 $|k|$ ，双曲线 $xy=k$ 离原点最近的两个顶点到原点距离为 $\sqrt{2|k|}$ 。两图像相交当且仅当 $|k|\ge\sqrt{2|k|}$ ，即 $|k|\ge2$ 。

所以只有 $|k|=1$ 时两图像不相交，也就是 $k=1$ 和 $k=-1$ ，共有 $2$ 个值。

因此 C 是正确答案。

For $k=0,$ the graph of $x^2+y^2=0$ is the single point $(0,0)$ and $xy=0$ is the two axes, which meet at the origin, so the graphs intersect.

For $k\ne0,$ the circle has radius $|k|,$ and the hyperbola $xy=k$ has its two vertices nearest the origin at distance $\sqrt{2|k|}.$ The graphs meet exactly when $|k|\ge\sqrt{2|k|},$ that is $|k|\ge2.$

So they fail to intersect only when $|k|=1,$ namely $k=1$ and $k=-1,$ giving $2$ values.

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 13 题

答案：C

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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