Question

有多少个非负整数可以写成下面的形式：

$\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0 \end{aligned}\text{，}$

其中对 $0 \le i \le 7$ 有 $a_i \in \{-1, 0, 1\}$ ？

How many nonnegative integers can be written in the form

$\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}$

where $a_i \in \{-1, 0, 1\}$ for $0 \le i \le 7?$

$512$

$729$

$1094$

$3281$

$59{,}048$

答案：D

知识点：进制双射对称性

难度评级：1660

小提示：

把每个 $a_i$ 从 $\{-1, 0, 1\}$ 平移到 $\{0, 1, 2\}$ ，就得到普通的 $3$ 进制数码

Shifting each $a_i$ from $\{-1, 0, 1\}$ to $\{0, 1, 2\}$ makes an ordinary base- $3$ numeral

大提示：

这 $3^8$ 个可表示整数关于 $0$ 对称；把 $0$ 和其余数值的一半一起计数。

The $3^8$ representable integers are symmetric about $0;$ count $0$ together with half of the remaining values

解答：

给每个 $a_i$ 都加 $1$ ，可在这些表达式与从 $0$ 到 $3^8 - 1$ 的 $3$ 进制数之间建立双射，所以恰有 $3^8 = 6561$ 个不同整数出现。它们关于 $0$ 对称（把所有 $a_i$ 取相反数会使数值取相反数），所以除了 $0$ 本身外，一半为正。非负整数的个数为 $1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281$ 即从 $0$ 到 $3280$ 的所有整数。

所以正确答案是 D。

Adding $1$ to every $a_i$ gives a bijection between these expressions and the base- $3$ numerals for $0$ through $3^8 - 1,$ so exactly $3^8 = 6561$ distinct integers occur. They are symmetric about $0$ (negating all $a_i$ negates the value), so besides $0$ itself, half are positive: $1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281$ nonnegative integers, namely $0$ through $3280.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A 第 13 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 13 题