2018 AMC 12A 真题与在线限时测验

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1.

一个大瓮里有 $100$ 个球，其中 $36\%$ 是红球，其余是蓝球。必须取出多少个蓝球，才能使瓮中红球的百分比变为 $72\%$ ？（不取出红球。）

A large urn contains $100$ balls, of which $36\%$ are red and the rest are blue. How many of the blue balls must be removed so that the percentage of red balls in the urn will be $72\%?$ (No red balls are to be removed.)

$28$

$32$

$36$

$50$

$64$

答案：D

知识点：百分数

难度评级：890

小提示：

红球的数量不变；只有蓝球被取出

The number of red balls never changes; only blue balls leave

大提示：

如果 $36$ 个红球要占全瓮的 $72\%$ ，那么瓮中总数必须是 $36 \div 0.72$ 个

If $36$ red balls are to be $72\%$ of the urn, the urn must hold $36 \div 0.72$ balls

解答：

原来有 $36$ 个红球，而且这个数量保持不变。若红球要占全瓮的 $72\%$ ，瓮中必须有 $36 \div 0.72 = 50$ 个球。因为 $100 - 50 = 50$ ，所以正好要取出 $50$ 个蓝球。

所以正确答案是 D。

There are $36$ red balls, and this count stays fixed. For the red balls to be $72\%$ of the urn, the urn must contain $36 \div 0.72 = 50$ balls. Since $100 - 50 = 50$ , exactly $50$ blue balls are removed.

Thus, the correct answer is D.

2.

Carl 在探索洞穴时发现一批石头： $5$ 磅重的石头每块价值 $ $14$ ， $4$ 磅重的石头每块价值 $ $11$ ， $1$ 磅重的石头每块价值 $ $2$ 。每种大小至少有 $20$ 块。他最多能携带 $18$ 磅。按美元计，他最多能从洞穴中带出价值多少的石头？

While exploring a cave, Carl comes across a collection of $5$ -pound rocks worth $ $14$ each, $4$ -pound rocks worth $ $11$ each, and $1$ -pound rocks worth $ $2$ each. There are at least $20$ of each size. He can carry at most $18$ pounds. What is the maximum value, in dollars, of the rocks he can carry out of the cave?

$48$

$49$

$50$

$51$

$52$

答案：C

知识点：最优化分类讨论

难度评级：1020

小提示：

比较每磅价值：三种石头分别是 $\$2.80$ ， $\$2.75$ ，和 $\$2$ 。

Compare the value per pound: $\$2.80,$ $\$2.75,$ and $\$2$ for the three rock sizes

大提示：

装满 $18$ 磅比总是选每磅价值最高的石头更重要；试试两块 $5$ 磅石头和两块 $4$ 磅石头

Filling the full $18$ pounds matters more than always grabbing the best per-pound rock; try two $5$ -pound and two $4$ -pound rocks

解答：

三种石头每磅分别价值 $ $2.80$ 、$ $2.75$ 和 $ $2$ 。对每一种可能的 $5$ 磅石头数量，尽量装入 $4$ 磅石头，再用 $1$ 磅石头填满剩余容量。取 $0,1,2$ 或 $3$ 块 $5$ 磅石头时，最大价值分别为 $ $48$ 、$ $49$ 、$ $50$ 和 $ $48$ 。

因此，两块 $5$ 磅石头和两块 $4$ 磅石头恰好用满 $18$ 磅，最大价值是 $ $50$ 。所以正确答案是 C。

The rocks are worth $ $2.80,$ $ $2.75,$ and $ $2$ per pound, respectively. For each possible number of $5$ -pound rocks, use as many $4$ -pound rocks as fit and fill any leftover capacity with $1$ -pound rocks. Taking $0,1,2,$ or $3$ of the $5$ -pound rocks gives maximum values $ $48,$ $ $49,$ $ $50,$ and $ $48,$ respectively.

Thus two $5$ -pound and two $4$ -pound rocks use all $18$ pounds, and the maximum value is $ $50.$ Thus, the correct answer is C.

3.

一名学生要在一天 $6$ 节课中安排 $3$ 门数学课：代数、几何和数论。如果任意两门数学课不能安排在连续课时中，有多少种安排方法？（其他 $3$ 节课上什么不需要考虑。）

How many ways can a student schedule $3$ mathematics courses—algebra, geometry, and number theory—in a $6$ -period day if no two mathematics courses can be taken in consecutive periods? (What courses the student takes during the other $3$ periods is of no concern here.)

$3$

$6$

$12$

$18$

$24$

答案：E

知识点：有限制的排列排列

难度评级：1130

小提示：

先数出从 $6$ 个课时中选 $3$ 个且没有相邻课时的集合数

First count the sets of $3$ periods out of $6$ with no two chosen periods adjacent

大提示：

这样的集合有 $4$ 个，而三门不同课程可以用 $3!$ 种方式分配进去

There are $4$ such sets, and the three distinct courses can be assigned in $3!$ ways

解答：

三个不相邻课时的选择为 $\{1,3,5\}$ ， $\{1,3,6\}$ ， $\{1,4,6\}$ ，和 $\{2,4,6\}$ ，共 $4$ 种。三门不同课程可以按任意顺序放进这样的课时集合中，有 $3! = 6$ 种顺序，因此共有 $4 \cdot 6 = 24$ 种安排。

所以正确答案是 E。

The choices of three non-consecutive periods are $\{1,3,5\},$ $\{1,3,6\},$ $\{1,4,6\},$ and $\{2,4,6\},$ a total of $4.$ The three distinct courses can be placed into any such set in $3! = 6$ orders, giving $4 \cdot 6 = 24$ schedules.

Thus, the correct answer is E.

4.

Alice、Bob 和 Charlie 在徒步时想知道最近的城镇有多远。Alice 说：“我们离城镇至少 $6$ 英里。”Bob 回答：“我们至多离城镇 $5$ 英里。”Charlie 接着说：“其实最近的城镇至多在 $4$ 英里外。”结果三个人的话都不正确。设 $d$ 为到最近城镇的距离，单位为英里。下列哪个区间是 $d$ 的所有可能取值的集合？

Alice, Bob, and Charlie were on a hike and were wondering how far away the nearest town was. When Alice said, “We are at least $6$ miles away,” Bob replied, “We are at most $5$ miles away.” Charlie then remarked, “Actually the nearest town is at most $4$ miles away.” It turned out that none of the three statements was true. Let $d$ be the distance in miles to the nearest town. Which of the following intervals is the set of all possible values of $d?$

$(0, 4)$

$(4, 5)$

$(4, 6)$

$(5, 6)$

$(5, \infty)$

答案：D

知识点：逻辑推理不等式

难度评级：1200

小提示：

每句话都是假的，所以把每句话都换成它的否定

Each statement is false, so replace each with its negation

大提示：

“至少 $6$ ” 为假表示 $d \lt 6$ ；“至多 $5$ ” 为假表示 $d \gt 5$ ；“至多 $4$ ” 为假表示 $d \gt 4$ 。

“At least $6$ ” false means $d \lt 6;$ “at most $5$ ” false means $d \gt 5;$ “at most $4$ ” false means $d \gt 4$

解答：

否定这三句假话，得到 $d \lt 6$ ， $d \gt 5$ ，和 $d \gt 4$ 。这些条件的交集是 $5 \lt d \lt 6$ ，也就是区间 $(5, 6)$ 。

所以正确答案是 D。

Negating the three false statements gives $d \lt 6,$ $d \gt 5,$ and $d \gt 4.$ The intersection of these conditions is $5 \lt d \lt 6,$ that is, the interval $(5, 6).$

Thus, the correct answer is D.

5.

若多项式 $x^2 - 3x + 2$ 和 $x^2 - 5x + k$ 有一个公共根， $k$ 的所有可能值之和是多少？

What is the sum of all possible values of $k$ for which the polynomials $x^2 - 3x + 2$ and $x^2 - 5x + k$ have a root in common?

$3$

$4$

$5$

$6$

$10$

答案：E

知识点：二次方程因式分解

难度评级：1270

小提示：

分解 $x^2 - 3x + 2$ ，找出它的两个根

Factor $x^2 - 3x + 2$ to find its two roots

大提示：

公共根必须是 $1$ 或 $2$ ；把它们分别代入 $x^2 - 5x + k$ 并解出 $k$ 。

A common root must be $1$ or $2;$ substitute each into $x^2 - 5x + k$ and solve for $k$

解答：

因为 $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ ，它的根是 $1$ 和 $2$ 。如果 $1$ 是公共根，则 $1 - 5 + k = 0$ ，所以 $k = 4$ 。如果 $2$ 是公共根，则 $4 - 10 + k = 0$ ，所以 $k = 6$ 。可能值之和为 $4 + 6 = 10$ 。

所以正确答案是 E。

Since $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2),$ its roots are $1$ and $2.$ If $1$ is a shared root then $1 - 5 + k = 0,$ so $k = 4.$ If $2$ is a shared root then $4 - 10 + k = 0,$ so $k = 6.$ The sum of possible values is $4 + 6 = 10.$

Thus, the correct answer is E.

6.

正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $m + 10 \lt n + 1$ ，并且集合 $\{m, m + 4, m + 10$ ， $n + 1$ ， $n + 2$ ， $2n\}$ 的平均数和中位数都等于 $n$ 。 $m + n$ 是多少？

For positive integers $m$ and $n$ such that $m + 10 \lt n + 1,$ both the mean and the median of the set $\{m, m + 4, m + 10,$ $n + 1,$ $n + 2,$ $2n\}$ are equal to $n.$ What is $m + n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：B

知识点：平均数中位数（数据）方程组

难度评级：1350

小提示：

条件 $m + 10 \lt n + 1$ 迫使这六个数已经按递增顺序列出

The condition $m + 10 \lt n + 1$ forces the six values to be listed in increasing order

大提示：

令中位数 $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ ，再令平均数等于 $n$ ，然后解这两个方程

Set the median $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ and set the mean equal to $n,$ then solve the two equations

解答：

因为 $m + 10 \lt n + 1$ ，这六个数已经按递增顺序排列，所以中位数是中间两个数的平均： $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n$ ，得到 $m = n - 11$ 。平均数条件为 $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n\text{，}$ 因此 $7n - 16 = 6n$ ，得 $n = 16$ 。于是 $m = 5$ ，所以 $m + n = 21$ 。

所以正确答案是 B。

Because $m + 10 \lt n + 1,$ the six numbers are already increasing, so the median is the average of the middle two: $\frac{(m+10)+(n+1)}{2} = n,$ giving $m = n - 11.$ The mean condition is $\tiny \frac{(n-11)+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+2)+2n}{6} = n,$ so $7n - 16 = 6n$ and $n = 16.$ Then $m = 5,$ and $m + n = 21.$

Thus, the correct answer is B.

7.

对多少个整数 $n$ （不一定为正）， $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ 的值是整数？

For how many (not necessarily positive) integer values of $n$ is the value of $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ an integer?

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

答案：E

知识点：质因数分解指数

难度评级：1380

小提示：

写成 $4000 = 2^5 \cdot 5^3$ ，所以表达式为 $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$ 。

Write $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ so the expression is $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$

大提示：

它恰好在两个指数 $5 + n$ 和 $3 - n$ 都非负时是整数

This is an integer exactly when both exponents $5 + n$ and $3 - n$ are nonnegative

解答：

因为 $4000 = 2^5 \cdot 5^3$ ，原式等于 $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$ 。它是整数当且仅当 $5 + n \ge 0$ 且 $3 - n \ge 0$ ，也就是 $-5 \le n \le 3$ 。这样的整数有 $3 - (-5) + 1 = 9$ 个。

所以正确答案是 E。

Since $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ the expression equals $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.$ This is an integer exactly when both $5 + n \ge 0$ and $3 - n \ge 0,$ that is, $-5 \le n \le 3.$ There are $3 - (-5) + 1 = 9$ such integers.

Thus, the correct answer is E.

8.

下图中所有三角形都与等腰三角形 $ABC$ 相似，其中 $AB = AC$ 。这 $7$ 个最小三角形中的每一个面积都是 $1$ ，且 $\triangle ABC$ 的面积是 $40$ 。梯形 $DBCE$ 的面积是多少？

All of the triangles in the diagram below are similar to isosceles triangle $ABC,$ in which $AB = AC.$ Each of the $7$ smallest triangles has area $1,$ and $\triangle ABC$ has area $40.$ What is the area of trapezoid $DBCE?$

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

答案：E

知识点：相似长度、面积与体积的缩放关系

难度评级：1440

小提示：

三角形 $ADE$ 的底边 $DE$ 跨过 $4$ 个小三角形的底边

The base $DE$ of triangle $ADE$ spans $4$ small-triangle bases

大提示：

面积按长度的平方缩放，所以 $[ADE] = 4^2 \cdot 1$ ；再从 $[ABC] = 40$ 中减去它

Area scales as the square of length, so $[ADE] = 4^2 \cdot 1;$ subtract this from $[ABC] = 40$

解答：

底边 $DE$ 所属的 $\triangle ADE$ 与最小三角形相似，且底边是其 $4$ 倍，所以根据相似图形面积的平方缩放， $[ADE] = 4^2 \cdot 1 = 16$ 。梯形 $DBCE$ 是 $\triangle ABC$ 中剩下的部分，所以它的面积是 $40 - 16 = 24$ 。

所以正确答案是 E。

The base $DE$ of $\triangle ADE$ is $4$ times the base of a smallest triangle, so by the square scaling of similar areas, $[ADE] = 4^2 \cdot 1 = 16.$ The trapezoid $DBCE$ is what remains of $\triangle ABC,$ so its area is $40 - 16 = 24.$

Thus, the correct answer is E.

9.

下列哪一项描述了闭区间 $[0, \pi]$ 内满足下面条件的 $y$ 的最大取值集合： $\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)$ 对每个介于 $0$ 和 $\pi$ 之间（含端点）的 $x$ 都成立？

Which of the following describes the largest subset of values of $y$ within the closed interval $[0, \pi]$ for which $\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)$ for every $x$ between $0$ and $\pi,$ inclusive?

$y = 0$

$0 \le y \le \tfrac{\pi}{4}$

$0 \le y \le \tfrac{\pi}{2}$

$0 \le y \le \tfrac{3\pi}{4}$

$0 \le y \le \pi$

答案：E

知识点：三角恒等式不等式

难度评级：1500

小提示：

展开 $\sin(x+y)$ $= \sin x \cos y + \cos x \sin y$ 。

Expand $\sin(x+y)$ $= \sin x \cos y + \cos x \sin y$

大提示：

对于 $x, y \in [0, \pi]$ 有 $\sin x, \sin y \ge 0$ 且 $\cos x, \cos y \le 1$ ；逐项比较

For $x, y \in [0, \pi]$ both $\sin x, \sin y \ge 0$ and $\cos x, \cos y \le 1;$ compare term by term

解答：

对于 $0 \le x \le \pi$ 和 $0 \le y \le \pi$ ，有 $\sin x \ge 0$ 、 $\sin y \ge 0$ 、 $\cos x \le 1$ 且 $\cos y \le 1$ 。因此 $\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y\text{。} \end{aligned}$ 所以这个不等式对每个满足 $0 \le y \le \pi$ 的 $y$ 都成立。

所以正确答案是 E。

For $0 \le x \le \pi$ and $0 \le y \le \pi$ we have $\sin x \ge 0,$ $\sin y \ge 0,$ $\cos x \le 1,$ and $\cos y \le 1.$ Hence $\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y. \end{aligned}$ The inequality therefore holds for every $y$ with $0 \le y \le \pi.$

Thus, the correct answer is E.

10.

有多少个实数有序对 $(x, y)$ 满足下面的方程组？

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

How many ordered pairs of real numbers $(x, y)$ satisfy the following system of equations?

$x + 3y = 3$ $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$

$1$

$2$

$3$

$4$

$8$

答案：C

知识点：绝对值方程组分类讨论

难度评级：1560

小提示：

方程 $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$ 表示 $|x| - |y| = \pm 1$ ，可展开为 $x = \pm y \pm 1$ 。

The equation $\big|\,|x| - |y|\,\big| = 1$ means $|x| - |y| = \pm 1,$ which unfolds into $x = \pm y \pm 1$

大提示：

分别将 $x + 3y = 3$ 与 $x = y + 1$ ， $x = y - 1$ ， $x = -y + 1$ ， $x = -y - 1$ ，联立求解，再去掉重复解

Solve $x + 3y = 3$ together with each of $x = y + 1,$ $x = y - 1,$ $x = -y + 1,$ $x = -y - 1,$ then discard repeats

解答：

第二个方程给出 $|x| - |y| = \pm 1$ ，等价于 $x = \pm y \pm 1$ 。代入 $x + 3y = 3$ ：

若 $x = y + 1$ 则 $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right)$ 。若 $x = y - 1$ 则 $(x, y) = (0, 1)$ 。若 $x = -y + 1$ ，又得到 $(x, y) = (0, 1)$ 。若 $x = -y - 1$ 则 $(x, y) = (-3, 2)$ 。

不同的解是 $(-3, 2)$ ， $(0, 1)$ ，和 $\left(\tfrac32, \tfrac12\right)$ ，它们都满足原方程，所以共有 $3$ 个。

所以正确答案是 C。

The second equation gives $|x| - |y| = \pm 1,$ equivalently $x = \pm y \pm 1.$ Substituting into $x + 3y = 3:$

If $x = y + 1,$ then $(x, y) = \left(\tfrac32, \tfrac12\right).$ If $x = y - 1,$ then $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y + 1,$ then again $(x, y) = (0, 1).$ If $x = -y - 1,$ then $(x, y) = (-3, 2).$

The distinct solutions are $(-3, 2),$ $(0, 1),$ and $\left(\tfrac32, \tfrac12\right),$ all of which check, so there are $3.$

Thus, the correct answer is C.

11.

如图，一张边长分别为 $3$ ， $4$ ，和 $5$ 英寸的纸三角形被折叠，使点 $A$ 落到点 $B$ 。折痕的长度是多少英寸？

A paper triangle with sides of lengths $3,$ $4,$ and $5$ inches, as shown, is folded so that point $A$ falls on point $B.$ What is the length in inches of the crease?

$1 + \tfrac12 \sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$\tfrac{7}{4}$

$\tfrac{15}{8}$

$2$

答案：D

知识点：折纸垂直平分线相似

难度评级：1570

小提示：

把 $A$ 折到 $B$ 时，折痕在 $AB$ 的垂直平分线上；因为 $AC \gt BC$ ，它与 $AC$ 相交。

Folding $A$ onto $B$ creases along the perpendicular bisector of $AB;$ since $AC \gt BC$ it meets $AC$

大提示：

设 $D$ 为 $AB$ 的中点， $E$ 在 $AC$ 上，则三角形 $ADE \sim$ 三角形 $ACB$ ，所以 $DE = AD \cdot \tfrac{CB}{AC}$ 。

With $D$ the midpoint of $AB$ and $E$ on $AC,$ triangle $ADE \sim$ triangle $ACB,$ so $DE = AD \cdot \tfrac{CB}{AC}$

解答：

折痕位于 $AB$ 的垂直平分线上，并且由于 $AC \gt BC$ ，它在 $E$ 处与 $AC$ 相交。设 $D$ 为 $AB$ 的中点，则 $AD = \tfrac52$ ，且 $\triangle ADE$ 在 $D$ 处为直角。因为 $\triangle ADE \sim \triangle ACB$ ，有 $\tfrac{DE}{AD} = \tfrac{CB}{AC} = \tfrac34$ ，所以 $DE = \frac52 \cdot \frac34 = \frac{15}{8}\text{。}$

所以正确答案是 D。

The crease lies along the perpendicular bisector of $AB,$ meeting $AC$ at $E$ because $AC \gt BC.$ Let $D$ be the midpoint of $AB,$ so $AD = \tfrac52$ and $\triangle ADE$ is right-angled at $D.$ Since $\triangle ADE \sim \triangle ACB,$ we have $\tfrac{DE}{AD} = \tfrac{CB}{AC} = \tfrac34,$ so $DE = \frac52 \cdot \frac34 = \frac{15}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

12.

设 $S$ 是从 $\{1, 2, \ldots, 12\}$ 中选出的 $6$ 个整数的集合，且满足：若 $a$ 和 $b$ 是 $S$ 的元素且 $a \lt b$ ，则 $b$ 不是 $a$ 的倍数。 $S$ 中元素的最小可能值是多少？

Let $S$ be a set of $6$ integers taken from $\{1, 2, \ldots, 12\}$ with the property that if $a$ and $b$ are elements of $S$ with $a \lt b,$ then $b$ is not a multiple of $a.$ What is the least possible value of an element of $S?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$7$

答案：C

知识点：整除性抽屉原理极端原理

难度评级：1630

小提示：

把 $\{1, \ldots, 12\}$ 分成若干链，每条链中前一个数整除后一个数： $\{1,2,4,8\}$ ， $\{3,6,12\}$ ， $\{5,10\}$ ， $\{7\}$ ， $\{9\}$ ， $\{11\}$ 。

Group $\{1, \ldots, 12\}$ into chains where each number divides the next: $\{1,2,4,8\},$ $\{3,6,12\},$ $\{5,10\},$ $\{7\},$ $\{9\},$ $\{11\}$

大提示：

每条链至多取一个元素；共有 $6$ 条链， $S$ 必须每条链正好取一个元素，迫使 $7, 9, 11 \in S$ 。

At most one element comes from each chain; with $6$ chains, $S$ must use exactly one from each, forcing $7, 9, 11 \in S$

解答：

将 $\{1, \ldots, 12\}$ 分成六条整除链 $\{1,2,4,8\}$ ， $\{3,6,12\}$ ， $\{5,10\}$ ， $\{7\}$ ， $\{9\}$ ， $\{11\}$ 。因为 $S$ 中不能有一个元素整除另一个元素，所以每条链至多贡献一个元素；需要 $6$ 个元素就迫使每条链正好取一个，因此 $7, 9, 11 \in S$ 。

因为 $9 \in S$ ，所以 $3 \notin S$ ，第二条链贡献 $6$ 或 $12$ ，于是第一条链中既不能选 $1$ 也不能选 $2$ （它们会整除 $6$ 和 $12$ ）。从第一条链取 $4$ 可以做到： $S = \{4, 5, 6, 7, 9, 11\}$ 满足条件。因此最小可能元素是 $4$ 。

所以正确答案是 C。

Partition $\{1, \ldots, 12\}$ into the six divisibility chains $\{1,2,4,8\},$ $\{3,6,12\},$ $\{5,10\},$ $\{7\},$ $\{9\},$ $\{11\}.$ Since no element of $S$ may divide another, at most one comes from each chain; needing $6$ elements forces exactly one from each, so $7, 9, 11 \in S.$

Because $9 \in S,$ $3 \notin S,$ so the second chain contributes $6$ or $12,$ and then neither $1$ nor $2$ can be chosen from the first chain (they divide $6$ and $12$ ). Taking $4$ from the first chain works: $S = \{4, 5, 6, 7, 9, 11\}$ has the property. Hence the least possible element is $4.$

Thus, the correct answer is C.

13.

有多少个非负整数可以写成下面的形式：

$\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0 \end{aligned}\text{，}$

其中对 $0 \le i \le 7$ 有 $a_i \in \{-1, 0, 1\}$ ？

How many nonnegative integers can be written in the form

$\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}$

where $a_i \in \{-1, 0, 1\}$ for $0 \le i \le 7?$

$512$

$729$

$1094$

$3281$

$59{,}048$

答案：D

知识点：进制双射对称性

难度评级：1660

小提示：

把每个 $a_i$ 从 $\{-1, 0, 1\}$ 平移到 $\{0, 1, 2\}$ ，就得到普通的 $3$ 进制数码

Shifting each $a_i$ from $\{-1, 0, 1\}$ to $\{0, 1, 2\}$ makes an ordinary base- $3$ numeral

大提示：

这 $3^8$ 个可表示整数关于 $0$ 对称；把 $0$ 和其余数值的一半一起计数。

The $3^8$ representable integers are symmetric about $0;$ count $0$ together with half of the remaining values

解答：

给每个 $a_i$ 都加 $1$ ，可在这些表达式与从 $0$ 到 $3^8 - 1$ 的 $3$ 进制数之间建立双射，所以恰有 $3^8 = 6561$ 个不同整数出现。它们关于 $0$ 对称（把所有 $a_i$ 取相反数会使数值取相反数），所以除了 $0$ 本身外，一半为正。非负整数的个数为 $1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281$ 即从 $0$ 到 $3280$ 的所有整数。

所以正确答案是 D。

Adding $1$ to every $a_i$ gives a bijection between these expressions and the base- $3$ numerals for $0$ through $3^8 - 1,$ so exactly $3^8 = 6561$ distinct integers occur. They are symmetric about $0$ (negating all $a_i$ negates the value), so besides $0$ itself, half are positive: $1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281$ nonnegative integers, namely $0$ through $3280.$

Thus, the correct answer is D.

14.

方程 $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8$ 的解中， $x$ 是正实数且不等于 $\tfrac13$ 或 $\tfrac12$ ，该解可写成 $\tfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质的正整数。 $p + q$ 是多少？

The solution to the equation $\log_{3x} 4 = \log_{2x} 8,$ where $x$ is a positive real number other than $\tfrac13$ or $\tfrac12,$ can be written as $\tfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $p + q?$

$5$

$13$

$17$

$31$

$35$

答案：D

知识点：对数

难度评级：1730

小提示：

用共同底数改写两边： $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x}$ ， $\log_{2x} 8$ 同理

Rewrite both sides with a common base: $\log_{3x} 4 = \tfrac{\log 4}{\log 3x},$ and similarly for $\log_{2x} 8$

大提示：

交叉相乘后方程化为 $(2x)^2 = (3x)^3$ ；解出 $x$ 并写成既约分数

Cross-multiplying reduces the equation to $(2x)^2 = (3x)^3;$ solve for $x$ as a reduced fraction

解答：

把两个对数都写成以 $2$ 为底： $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x}$ ，所以 $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x$ ，即 $(2x)^2 = (3x)^3$ 。于是 $4x^2 = 27x^3$ ，得 $x = \tfrac{4}{27}$ 。因为 $\gcd(4, 27) = 1$ ，所以 $p + q = 4 + 27 = 31$ 。

所以正确答案是 D。

Writing both logarithms in base $2:$ $\tfrac{2}{\log_2 3x} = \tfrac{3}{\log_2 2x},$ so $2 \log_2 2x = 3 \log_2 3x,$ i.e. $(2x)^2 = (3x)^3.$ Then $4x^2 = 27x^3,$ giving $x = \tfrac{4}{27}.$ Since $\gcd(4, 27) = 1,$ we get $p + q = 4 + 27 = 31.$

Thus, the correct answer is D.

15.

一个扫描码由 $7 \times 7$ 的方格组成，其中一些小方格涂成黑色，其余涂成白色。在这个 $49$ 个小方格的网格中，必须至少有一个小方格为每种颜色。如果把整个正方形绕中心逆时针旋转 $90^\circ$ 的倍数，或沿连接相对顶点的直线、连接相对边中点的直线反射后，外观都不改变，则称这个扫描码是对称的。可能的对称扫描码总数是多少？

A scanning code consists of a $7 \times 7$ grid of squares, with some of its squares colored black and the rest colored white. There must be at least one square of each color in this grid of $49$ squares. A scanning code is called symmetric if its look does not change when the entire square is rotated by a multiple of $90^\circ$ counterclockwise around its center, nor when it is reflected across a line joining opposite corners or a line joining midpoints of opposite sides. What is the total number of possible symmetric scanning codes?

$510$

$1022$

$8190$

$8192$

$65{,}534$

答案：B

知识点：对称性基本计数

难度评级：1800

小提示：

所要求的对称性迫使同一旋转-反射轨道中的每个小方格颜色相同

The required symmetries force every square in one rotation-reflection orbit to share a color

大提示：

有 $10$ 个独立轨道，每个都可自由选黑或白；排除全黑和全白的扫描码

There are $10$ independent orbits, each freely black or white; exclude the all-black and all-white codes

解答：

在正方形的对称群作用下， $49$ 个方格分成若干轨道，同一轨道中的每个方格必须颜色相同。以中心为原点，给方格坐标 $(i,j)$ ，其中 $-3\le i,j\le3$ 。旋转和翻折可以改变坐标符号并交换两个坐标，所以每个轨道都有唯一代表满足 $0\le i\le j\le3$ 。这样的数对共有 $1+2+3+4=10$ 个。每个轨道可选黑色或白色，得到 $2^{10}$ 种着色，但要排除全黑和全白的网格。因此共有 $2^{10} - 2 = 1022$ 个对称扫描码。

因此，正确答案是 B。

Under the symmetry group of the square, the $49$ cells break into orbits, and every cell in an orbit must have the same color. Give a cell coordinates $(i,j)$ relative to the center, where $-3\le i,j\le3.$ Rotations and reflections can change signs and interchange the coordinates, so each orbit has one representative with $0\le i\le j\le3.$ There are $1+2+3+4=10$ such pairs. Each orbit is black or white, giving $2^{10}$ colorings, but the all-black and all-white grids are excluded. So there are $2^{10} - 2 = 1022$ symmetric scanning codes.

Thus, the correct answer is B.

16.

下列哪一项描述了实 $xy$ -平面中曲线 $x^2 + y^2 = a^2$ 和 $y = x^2 - a$ 恰好有 $3$ 个交点时 $a$ 的取值集合？

Which of the following describes the set of values of $a$ for which the curves $x^2 + y^2 = a^2$ and $y = x^2 - a$ in the real $xy$ -plane intersect at exactly $3$ points?

$a = \tfrac14$

$\tfrac14 \lt a \lt \tfrac12$

$a \gt \tfrac14$

$a = \tfrac12$

$a \gt \tfrac12$

答案：E

知识点：圆抛物线二次方程

难度评级：1840

小提示：

由 $y = x^2 - a$ 将 $x^2 = y + a$ 代入圆的方程，得到关于 $y$ 的二次方程

From $y = x^2 - a$ substitute $x^2 = y + a$ into the circle equation to get a quadratic in $y$

大提示：

一个交点是 $x = 0$ 处的顶点相切；还要两个交点，则需要 $x^2 = 2a - 1$ 有非零实数解。

One intersection is the vertex tangency at $x = 0;$ two more require $x^2 = 2a - 1$ to have real nonzero solutions

解答：

将 $x^2 = y + a$ 代入 $x^2 + y^2 = a^2$ ，得 $y^2 + y + (a - a^2) = 0$ ，可分解为 $(y + 1 - a)(y + a) = 0$ ，所以 $y = a - 1$ 或 $y = -a$ 。它们分别对应 $x^2 = 2a - 1$ 和 $x^2 = 0$ 。

方程 $x^2 = 0$ 总是给出单个点 $(0, -a)$ ，即抛物线的顶点。方程 $x^2 = 2a - 1$ 恰好在 $2a - 1 \gt 0$ ，即 $a \gt \tfrac12$ 时给出另外两个点。因此恰好有 $3$ 个交点当且仅当 $a \gt \tfrac12$ 。

所以正确答案是 E。

Substituting $x^2 = y + a$ into $x^2 + y^2 = a^2$ gives $y^2 + y + (a - a^2) = 0,$ which factors as $(y + 1 - a)(y + a) = 0,$ so $y = a - 1$ or $y = -a.$ These correspond to $x^2 = 2a - 1$ and $x^2 = 0.$

The equation $x^2 = 0$ always gives the single point $(0, -a),$ the vertex of the parabola. The equation $x^2 = 2a - 1$ gives two more points exactly when $2a - 1 \gt 0,$ i.e. $a \gt \tfrac12.$ So there are $3$ intersection points precisely when $a \gt \tfrac12.$

Thus, the correct answer is E.

17.

Farmer Pythagoras 有一块直角三角形田地。这个直角三角形的两条直角边长分别为 $3$ 和 $4$ 个单位。在两边相交的直角角落里，他留下一小块未种植的正方形 $S$ ，使得从空中看像直角标记。田地其余部分都已种植。 $S$ 到斜边的最短距离是 $2$ 个单位。田地中已种植的部分占多少比例？

Farmer Pythagoras has a field in the shape of a right triangle. The right triangle’s legs have lengths of $3$ and $4$ units. In the corner where those sides meet at a right angle, he leaves a small unplanted square $S$ so that from the air it looks like the right angle symbol. The rest of the field is planted. The shortest distance from $S$ to the hypotenuse is $2$ units. What fraction of the field is planted?

$\tfrac{25}{27}$

$\tfrac{26}{27}$

$\tfrac{73}{75}$

$\tfrac{145}{147}$

$\tfrac{74}{75}$

答案：D

知识点：坐标几何距离公式面积

难度评级：1910

小提示：

把直角放在原点，使斜边为直线 $3x + 4y = 12$ 。

Put the right angle at the origin so the hypotenuse is the line $3x + 4y = 12$

大提示：

正方形远角 $(s, s)$ 到该直线的距离为 $2$ ；解 $\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2$ 并保留有效根

The far corner $(s, s)$ of the square is distance $2$ from that line; solve $\tfrac{|3s + 4s - 12|}{5} = 2$ and keep the valid root

解答：

将直角放在原点，两条直角边沿坐标轴，则顶点为 $(4, 0)$ 、 $(0, 3)$ 、 $(0, 0)$ ，正方形 $S$ 为 $[0, s] \times [0, s]$ 。斜边是 $3x + 4y - 12 = 0$ ，它到正方形最近的角 $(s, s)$ 的距离满足 $\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2\text{。}$ 这给出 $s = \tfrac{22}{7}$ 或 $s = \tfrac27$ ；只有 $s = \tfrac27$ 能使正方形留在三角形内部。

田地面积为 $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ ，未种植正方形面积为 $\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}$ 。已种植比例为 $1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}\text{。}$

所以正确答案是 D。

Place the right angle at the origin with legs on the axes, so the vertices are $(4, 0),$ $(0, 3),$ $(0, 0),$ and the square $S$ is $[0, s] \times [0, s].$ The hypotenuse is $3x + 4y - 12 = 0,$ and the distance from its nearest corner $(s, s)$ is $\frac{|3s + 4s - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7s - 12|}{5} = 2.$ This gives $s = \tfrac{22}{7}$ or $s = \tfrac27;$ only $s = \tfrac27$ keeps the square inside the triangle.

The field has area $\tfrac12 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ and the unplanted square has area $\left(\tfrac27\right)^2 = \tfrac{4}{49}.$ The planted fraction is $1 - \frac{\frac{4}{49}}{6} = 1 - \frac{2}{147} = \frac{145}{147}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

三角形 $ABC$ 中， $AB = 50$ 、 $AC = 10$ ，面积为 $120$ 。设 $D$ 为 $\overline{AB}$ 的中点， $E$ 为 $\overline{AC}$ 的中点。 $\angle BAC$ 的角平分线分别在 $F$ 和 $G$ 处与 $\overline{DE}$ 和 $\overline{BC}$ 相交。四边形 $FDBG$ 的面积是多少？

Triangle $ABC$ with $AB = 50$ and $AC = 10$ has area $120.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $E$ be the midpoint of $\overline{AC}.$ The angle bisector of $\angle BAC$ intersects $\overline{DE}$ and $\overline{BC}$ at $F$ and $G,$ respectively. What is the area of quadrilateral $FDBG?$

$60$

$65$

$70$

$75$

$80$

答案：D

知识点：角平分线定理面积比中点

难度评级：1990

小提示：

因为 $D, E$ 是中点， $[ADE] = \tfrac14 [ABC]$ ，所以梯形 $EDBC$ 是剩下的 $\tfrac34$ 。

Since $D, E$ are midpoints, $[ADE] = \tfrac14 [ABC],$ so trapezoid $EDBC$ is the remaining $\tfrac34$

大提示：

由角平分线定理，角平分线按 $AB : AC = 5 : 1$ 的比例截 $DE$ 和 $BC$ ，使 $FDBG$ 等于 $EDBC$ 的 $\tfrac56$ 。

By the Angle Bisector Theorem the bisector cuts $DE$ and $BC$ in ratio $AB : AC = 5 : 1,$ making $FDBG$ equal to $\tfrac56$ of $EDBC$

解答：

因为 $D$ 和 $E$ 是中点， $\triangle ADE$ 的面积是 $\triangle ABC$ 面积的 $\tfrac14$ 即 $30$ ，所以梯形 $EDBC$ 的面积为 $120 - 30 = 90$ 。

由角平分线定理， $G$ 将 $BC$ 分成 $BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC$ ，同样 $F$ 将 $DE$ 分成 $DF = \tfrac56 DE$ 。因为 $FDBG$ 和 $EDBC$ 高相同， $FDBG$ 的面积是 $EDBC$ 面积的 $\tfrac56$ ，即 $\tfrac56 \cdot 90 = 75$ 。

所以正确答案是 D。

Since $D$ and $E$ are midpoints, $\triangle ADE$ has $\tfrac14$ the area of $\triangle ABC,$ namely $30,$ so trapezoid $EDBC$ has area $120 - 30 = 90.$

By the Angle Bisector Theorem, $G$ divides $BC$ with $BG = \tfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC = \tfrac56 BC,$ and likewise $F$ divides $DE$ so that $DF = \tfrac56 DE.$ Because $FDBG$ and $EDBC$ share the same height, the area of $FDBG$ is $\tfrac56$ of the area of $EDBC:$ $\tfrac56 \cdot 90 = 75.$

Thus, the correct answer is D.

19.

设 $A$ 为质因数只有 $2$ 、 $3$ 或 $5$ 的正整数集合。所有 $A$ 中元素倒数的无穷和 $\begin{aligned} &\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \\ &\quad {}+ \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \\ &\quad {}+ \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots \end{aligned}$ 可表示为 $\tfrac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。 $m + n$ 是多少？

Let $A$ be the set of positive integers that have no prime factors other than $2,$ $3,$ or $5.$ The infinite sum $\begin{aligned} &\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} \\ &\quad {}+ \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \\ &\quad {}+ \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots \end{aligned}$ of the reciprocals of all the elements of $A$ can be expressed as $\tfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$16$

$17$

$19$

$23$

$36$

答案：C

知识点：等比数列求和质因数分解

难度评级：1930

小提示：

每个元素都是 $2^i 3^j 5^k$ ，所以这个和可分解为三个独立等比级数的乘积

Every element is $2^i 3^j 5^k,$ so the sum factors as a product of three separate geometric series

大提示：

计算 $\dfrac{1}{1 - \frac12} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac13} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac15}$ 并化简

Evaluate $\dfrac{1}{1 - \frac12} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac13} \cdot \dfrac{1}{1 - \frac15}$ and reduce the result

解答：

$A$ 中每个元素都可唯一写成 $2^i 3^j 5^k$ ，其中 $i, j, k \ge 0$ ，所以所有倒数的和可分解为 $\begin{aligned} &\left(\sum_{i \ge 0} \tfrac{1}{2^i}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{j \ge 0} \tfrac{1}{3^j}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k \ge 0} \tfrac{1}{5^k}\right) \\ &= \frac{1}{1 - \frac12} \cdot \frac{1}{1 - \frac13} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{1 - \frac15}\text{。} \end{aligned}$ 这等于 $2 \cdot \tfrac32 \cdot \tfrac54 = \tfrac{15}{4}$ 。因为 $\gcd(15, 4) = 1$ ，所以 $m + n = 15 + 4 = 19$ 。

所以正确答案是 C。

Each element of $A$ is uniquely $2^i 3^j 5^k$ with $i, j, k \ge 0,$ so summing all reciprocals factors as $\begin{aligned} &\left(\sum_{i \ge 0} \tfrac{1}{2^i}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{j \ge 0} \tfrac{1}{3^j}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{k \ge 0} \tfrac{1}{5^k}\right) \\ &= \frac{1}{1 - \frac12} \cdot \frac{1}{1 - \frac13} \\ &\quad {}\cdot \frac{1}{1 - \frac15}. \end{aligned}$ This equals $2 \cdot \tfrac32 \cdot \tfrac54 = \tfrac{15}{4}.$ With $\gcd(15, 4) = 1,$ $m + n = 15 + 4 = 19.$

Thus, the correct answer is C.

20.

三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形，且 $AB = AC = 3$ 。设 $M$ 为斜边 $\overline{BC}$ 的中点。点 $I$ 和 $E$ 分别在边 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 上，使得 $AI \gt AE$ ，并且 $AIME$ 是圆内接四边形。已知三角形 $EMI$ 的面积为 $2$ ，则长度 $CI$ 可写成 $\tfrac{a - \sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是正整数，且 $b$ 不被任何质数的平方整除。 $a + b + c$ 的值是多少？

Triangle $ABC$ is an isosceles right triangle with $AB = AC = 3.$ Let $M$ be the midpoint of hypotenuse $\overline{BC}.$ Points $I$ and $E$ lie on sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively, so that $AI \gt AE$ and $AIME$ is a cyclic quadrilateral. Given that triangle $EMI$ has area $2,$ the length $CI$ can be written as $\tfrac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is the value of $a + b + c?$

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

答案：D

知识点：圆内接四边形余弦定理三角形面积

难度评级：2110

小提示：

因为 $AIME$ 是圆内接四边形且 $\angle A = 90^\circ$ ，对角 $\angle IME = 90^\circ$ 也成立

Because $AIME$ is cyclic and $\angle A = 90^\circ,$ the opposite angle $\angle IME = 90^\circ$ as well

大提示：

令 $x = CI$ ， $y = BE$ ，对 $IM, ME$ 使用余弦定理（底角为 $45^\circ$ ），再用面积 $\tfrac12 IM \cdot ME = 2$ ，和关系 $x + y = 3$ 。

With $x = CI,$ $y = BE,$ use the Law of Cosines for $IM, ME$ (base angles $45^\circ$ ), the area $\tfrac12 IM \cdot ME = 2,$ and the relation $x + y = 3$

解答：

因为 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形， $CM = BM = \tfrac32 \sqrt2$ ，且 $B, C$ 处的底角为 $45^\circ$ 。由于 $AIME$ 是圆内接四边形且 $A$ 处是直角，角 $\angle IME = 90^\circ$ 。令 $x = CI$ ， $y = BE$ 。在 $\triangle MCI$ 中由余弦定理， $\begin{aligned} IM^2 &= x^2 + \tfrac92 \\ &\quad {}- 2 \cdot x \cdot \tfrac32\sqrt2 \cdot \cos 45^\circ \\ &= x^2 - 3x + \tfrac92\text{，} \end{aligned}$ 同理， $ME^2 = y^2 - 3y + \tfrac92$ 。

对直角三角形 $EMI$ 和 $IAE$ 使用勾股定理，得到 $IM^2 + ME^2$ $= (3-x)^2$ $+ (3-y)^2$ ，化简为 $x + y = 3$ 。面积条件 $\tfrac12 IM \cdot ME = 2$ 表示 $IM^2 \cdot ME^2 = 16$ 。代入 $y = 3 - x$ 后， $ME^2 = x^2 - 3x + \tfrac92 = IM^2$ ，所以 $\left(x^2 - 3x + \tfrac92\right)^2 = 16$ ，因而 $x^2 - 3x + \tfrac92 = 4$ ，即 $x^2 - 3x + \tfrac12 = 0$ 。

因为 $AI \gt AE$ 迫使 $y \gt x$ ，所以取较小根 $x = \tfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$ 。于是 $a + b + c = 3 + 7 + 2 = 12$ 。

所以正确答案是 D。

Since $\triangle ABC$ is an isosceles right triangle, $CM = BM = \tfrac32 \sqrt2$ and the base angles at $B, C$ are $45^\circ.$ As $AIME$ is cyclic with right angle at $A,$ angle $\angle IME = 90^\circ.$ Let $x = CI$ and $y = BE.$ By the Law of Cosines in $\triangle MCI,$ $\begin{aligned} IM^2 &= x^2 + \tfrac92 \\ &\quad {}- 2 \cdot x \cdot \tfrac32\sqrt2 \cdot \cos 45^\circ \\ &= x^2 - 3x + \tfrac92, \end{aligned}$ and similarly $ME^2 = y^2 - 3y + \tfrac92.$

The Pythagorean Theorem in right triangles $EMI$ and $IAE$ gives $IM^2 + ME^2$ $= (3-x)^2$ $+ (3-y)^2,$ which simplifies to $x + y = 3.$ The area condition $\tfrac12 IM \cdot ME = 2$ means $IM^2 \cdot ME^2 = 16.$ Substituting $y = 3 - x$ makes $ME^2 = x^2 - 3x + \tfrac92 = IM^2,$ so $\left(x^2 - 3x + \tfrac92\right)^2 = 16,$ hence $x^2 - 3x + \tfrac92 = 4,$ i.e. $x^2 - 3x + \tfrac12 = 0.$

Since $AI \gt AE$ forces $y \gt x,$ we take the smaller root $x = \tfrac{3 - \sqrt{7}}{2}.$ Then $a + b + c = 3 + 7 + 2 = 12.$

Thus, the correct answer is D.

21.

下列哪个多项式有最大的实根？

Which of the following polynomials has the greatest real root?

$x^{19} + 2018x^{11} + 1$

$x^{17} + 2018x^{11} + 1$

$x^{19} + 2018x^{13} + 1$

$x^{17} + 2018x^{13} + 1$

$2019x + 2018$

答案：B

知识点：多项式不等式极限情形界定

难度评级：2210

小提示：

由笛卡尔符号法则，每个多项式恰有一个实根，且它位于 $(-1, 0)$

By Descartes’ Rule of Signs each polynomial has exactly one real root, and it lies in $(-1, 0)$

大提示：

在 $(-1, 0)$ 上，取值较大的多项式有较小的根；注意那里 $x^{19} \gt x^{17}$ 且 $x^{13} \gt x^{11}$ 。

On $(-1, 0)$ a polynomial with larger values has a smaller root; note $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}$ there

解答：

选项 A-D 中每个多项式都没有正根，且恰有一个负根，位于 $(-1, 0)$ （在 $0$ 处为正，在 $-1$ 处为负），并且在该区间递增。在区间 $(-1, 0)$ 上， $x^{19} \gt x^{17}$ 且 $x^{13} \gt x^{11}$ 。因此在这个区间的每一点上，A、C、D 的取值都大于 B，于是它们与 $0$ 的交点都比 B 更靠左。所以在 A 到 D 中，B 的根最大。

一次的选项 E 的根为 $e=-\tfrac{2018}{2019}$ 。因为 $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10}$ ，所以 $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0$ 。由于选项 B 的多项式单调递增，且在 $e$ 处取负值，它的根在 E 的根的右侧。因此 B 的实根最大。

所以正确答案是 B。

Each polynomial in choices A–D has no positive root and exactly one negative root, which lies in $(-1, 0)$ (it is positive at $0$ and negative at $-1$ ) and is increasing there. On the interval $(-1, 0),$ $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}.$ Thus each of A, C, and D has a larger value than B at every point of this interval, so each crosses $0$ to the left of B. Therefore B has the greatest root among A–D.

The linear choice E has root $e=-\tfrac{2018}{2019}.$ Since $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},$ we have $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0.$ Because B is increasing and is negative at $e,$ its root lies to the right of E’s. Hence B has the greatest real root.

Thus, the correct answer is B.

22.

方程 $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ 和 $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ 的解（其中 $i = \sqrt{-1}$ ）在复平面中构成一个平行四边形的顶点。这个平行四边形的面积可写成 $p\sqrt{q} - r\sqrt{s}$ ，其中 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 和 $s$ 是正整数，且 $q$ 和 $s$ 都不被任何质数的平方整除。 $p + q + r + s$ 是多少？

The solutions to the equations $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ and $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i,$ where $i = \sqrt{-1},$ form the vertices of a parallelogram in the complex plane. The area of this parallelogram can be written in the form $p\sqrt{q} - r\sqrt{s},$ where $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ are positive integers and neither $q$ nor $s$ is divisible by the square of any prime number. What is $p + q + r + s?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：A

知识点：复数鞋带公式

难度评级：2270

小提示：

写 $z = a + bi$ ，通过比较实部和虚部解 $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ ；另一个方程也同样处理

Solve $z^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ by writing $z = a + bi$ and matching real and imaginary parts; do the same for the other equation

大提示：

四个顶点是 $\pm z_1$ 和 $\pm z_2$ ；对它们的坐标使用鞋带公式

The four vertices are $\pm z_1$ and $\pm z_2;$ apply the shoelace formula to their coordinates

解答：

写 $z = a + bi$ ，由 $(a + bi)^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ 得 $a^2 - b^2 = 4$ 和 $2ab = 4\sqrt{15}$ 。因此 $a^4 - 4a^2 - 60 = 0$ ，即 $(a^2 - 10)(a^2 + 6) = 0$ ，得 $a = \pm\sqrt{10}$ ， $b = \pm\sqrt{6}$ 。第一个方程给出的顶点为 $\pm(\sqrt{10} + \sqrt{6}\,i)$ 。对 $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ 用同样方法得到 $\pm(\sqrt{3} + i)$ 。

对 $(\sqrt{10}, \sqrt{6})$ ， $(\sqrt{3}, 1)$ ， $(-\sqrt{10}, -\sqrt{6})$ ， $(-\sqrt{3}, -1)$ 使用鞋带公式，面积为 $6\sqrt{2} - 2\sqrt{10}$ 。因此 $p + q + r + s$ $= 6 + 2 + 2 + 10$ $= 20$ 。

所以正确答案是 A。

Writing $z = a + bi$ with $(a + bi)^2 = 4 + 4\sqrt{15}\,i$ gives $a^2 - b^2 = 4$ and $2ab = 4\sqrt{15}.$ Then $a^4 - 4a^2 - 60 = 0,$ so $(a^2 - 10)(a^2 + 6) = 0,$ yielding $a = \pm\sqrt{10},$ $b = \pm\sqrt{6}.$ The vertices from the first equation are $\pm(\sqrt{10} + \sqrt{6}\,i).$ The same method on $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}\,i$ gives $\pm(\sqrt{3} + i).$

Applying the shoelace formula to $(\sqrt{10}, \sqrt{6}),$ $(\sqrt{3}, 1),$ $(-\sqrt{10}, -\sqrt{6}),$ $(-\sqrt{3}, -1)$ gives area $6\sqrt{2} - 2\sqrt{10}.$ Thus $p + q + r + s$ $= 6 + 2 + 2 + 10$ $= 20.$

Thus, the correct answer is A.

23.

在 $\triangle PAT$ 中， $\angle P = 36^\circ$ ， $\angle A = 56^\circ$ ，且 $PA = 10$ 。点 $U$ 和 $G$ 分别在边 $\overline{TP}$ 和 $\overline{TA}$ 上，使得 $PU = AG = 1$ 。设 $M$ 和 $N$ 分别为线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{UG}$ 的中点。直线 $MN$ 和 $PA$ 所成锐角的度数是多少？

In $\triangle PAT,$ $\angle P = 36^\circ,$ $\angle A = 56^\circ,$ and $PA = 10.$ Points $U$ and $G$ lie on sides $\overline{TP}$ and $\overline{TA},$ respectively, so that $PU = AG = 1.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of segments $\overline{PA}$ and $\overline{UG},$ respectively. What is the degree measure of the acute angle formed by lines $MN$ and $PA?$

$76$

$77$

$78$

$79$

$80$

答案：E

知识点：导角中点平行四边形

难度评级：2370

小提示：

延长 $PN$ 到 $Q$ ，使 $PN = NQ$ ；则 $UPGQ$ 是平行四边形，所以 $GQ \parallel PT$ 且 $GQ = PU = AG$ 。

Extend $PN$ to $Q$ with $PN = NQ;$ then $UPGQ$ is a parallelogram, so $GQ \parallel PT$ and $GQ = PU = AG$

大提示：

三角形 $QGA$ 是等腰三角形，且 $MN$ 是三角形 $QPA$ 的中位线，所以 $\angle NMA = \angle QAP$ 。

Triangle $QGA$ is isosceles, and $MN$ is a midline of triangle $QPA,$ so $\angle NMA = \angle QAP$

解答：

将 $PN$ 经过 $N$ 延长到 $Q$ ，使 $PN = NQ$ 。因为 $N$ 是 $UG$ 和 $PQ$ 的中点，四边形 $UPGQ$ 是平行四边形，所以 $GQ \parallel PT$ 且 $GQ = PU = 1 = AG$ 。因此 $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ$ ，等腰三角形 $QGA$ 给出 $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ$ 。

因为 $M, N$ 是中点， $MN$ 是 $\triangle QPA$ 的中位线，所以 $MN \parallel AQ$ ，并且 $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ\text{。} \end{aligned}$ 因此直线 $MN$ 和 $PA$ 所成锐角为 $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ 。

所以正确答案是 E。

Extend $PN$ through $N$ to $Q$ with $PN = NQ.$ Since $N$ is the midpoint of $UG$ and of $PQ,$ the quadrilateral $UPGQ$ is a parallelogram, so $GQ \parallel PT$ and $GQ = PU = 1 = AG.$ Then $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ,$ and the isosceles triangle $QGA$ gives $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.$

Because $M, N$ are midpoints, $MN$ is a midline of $\triangle QPA,$ so $MN \parallel AQ$ and $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned}$ The acute angle between line $MN$ and $PA$ is therefore $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

24.

Alice、Bob 和 Carol 玩一个游戏，每人选择一个介于 $0$ 和 $1$ 之间的实数。游戏获胜者是其数字位于另外两名玩家所选数字之间的人。Alice 宣布她会在 $0$ 和 $1$ 之间的所有数中均匀随机选择一个数，Bob 宣布他会在 $\tfrac12$ 和 $\tfrac23$ 之间的所有数中均匀随机选择一个数。在知道这些信息后，Carol 应该选择什么数来最大化她获胜的概率？

Alice, Bob, and Carol play a game in which each of them chooses a real number between $0$ and $1.$ The winner of the game is the one whose number is between the numbers chosen by the other two players. Alice announces that she will choose her number uniformly at random from all the numbers between $0$ and $1,$ and Bob announces that he will choose his number uniformly at random from all the numbers between $\tfrac12$ and $\tfrac23.$ Armed with this information, what number should Carol choose to maximize her chance of winning?

$\tfrac12$

$\tfrac{13}{24}$

$\tfrac{7}{12}$

$\tfrac58$

$\tfrac23$

答案：B

知识点：几何概率分类讨论最优化

难度评级：2520

小提示：

按 Carol 的数 $c$ 相对于 $\tfrac12$ 和 $\tfrac23$ 的位置分类；当 $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23$ 时她有两种获胜方式

Split into cases by where Carol’s number $c$ sits relative to $\tfrac12$ and $\tfrac23;$ for $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23$ she can win in two ways

大提示：

在中间区间内，她的获胜概率是 $-12c^2 + 13c - 3$ ；在顶点 $c = \tfrac{-b}{2a}$ 处最大化这个开口向下的二次式

In that middle range her win probability is $-12c^2 + 13c - 3;$ maximize this downward quadratic at its vertex $c = \tfrac{-b}{2a}$

解答：

若 $c \le \tfrac12$ ，Carol 一定小于 Bob，所以她只有在 Alice 小于 $c$ 时获胜，概率为 $c \le \tfrac12$ 。若 $c \ge \tfrac23$ ，她获胜的概率为 $1 - c \le \tfrac13$ 。这两种情况都不超过 $\tfrac12$ 。

对于 $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23$ ，Bob 的数大于 $c$ 的概率是 $\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c$ ，所以 Carol 大于 Alice 且小于 Bob 的概率是 $c(4 - 6c)$ ；反向排序的概率是 $(1 - c)(6c - 3)$ 。相加得 $\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3 \end{aligned}\text{。}$ 这个开口向下的抛物线在 $c = \tfrac{13}{24}$ 处取到最大值，该点位于 $\left(\tfrac12, \tfrac23\right)$ 内，且最大值超过 $\tfrac12$ 。

所以正确答案是 B。

If $c \le \tfrac12,$ Carol beats Bob automatically, so she wins only if Alice is below $c,$ probability $c \le \tfrac12.$ If $c \ge \tfrac23,$ she wins with probability $1 - c \le \tfrac13.$ Neither case exceeds $\tfrac12.$

For $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23,$ the chance Bob’s number exceeds $c$ is $\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c,$ so the probability Carol is above Alice and below Bob is $c(4 - 6c);$ the reverse ordering has probability $(1 - c)(6c - 3).$ Adding, $\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned}$ This downward parabola is maximized at $c = \tfrac{13}{24},$ which lies in $\left(\tfrac12, \tfrac23\right),$ and its value exceeds $\tfrac12.$

Thus, the correct answer is B.

25.

对于正整数 $n$ 和非零数字 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，设 $A_n$ 为一个 $n$ 位整数，其每一位都等于 $a$ ；设 $B_n$ 为一个 $n$ 位整数，其每一位都等于 $b$ ；设 $C_n$ 为一个 $2n$ 位（而不是 $n$ 位）整数，其每一位都等于 $c$ 。若存在至少两个 $n$ 的取值使 $C_n - B_n = A_n^2$ ，则 $a + b + c$ 的最大可能值是多少？

For a positive integer $n$ and nonzero digits $a,$ $b,$ and $c,$ let $A_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $a;$ let $B_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $b;$ and let $C_n$ be the $2n$ -digit (not $n$ -digit) integer each of whose digits is equal to $c.$ What is the greatest possible value of $a + b + c$ for which there are at least two values of $n$ such that $C_n - B_n = A_n^2?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

答案：D

知识点：数字代数变形

难度评级：2650

小提示：

写 $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}$ ，同样写出 $B_n$ ，且 $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}$ ，再代入 $C_n - B_n = A_n^2$ 。

Write $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ and likewise $B_n$ and $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ then substitute into $C_n - B_n = A_n^2$

大提示：

要对两个 $n$ 的取值成立，迫使 $10^n$ 的系数为零： $9c = a^2$ 且 $9b - 9c = a^2$ 。

Requiring it for two values of $n$ forces the coefficient of $10^n$ to vanish: $9c = a^2$ and $9b - 9c = a^2$

解答：

利用 $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}$ 、 $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9}$ 以及 $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9}$ ，方程 $C_n - B_n = A_n^2$ 在除以 $10^n - 1$ 并清分母后变为 $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2\text{。}$ 若它要对两个不同的 $n$ 成立，则 $10^n$ 的系数必须为零，所以 $9c = a^2$ ，进而 $9b - 9c - a^2 = 0$ 。

于是 $c = \tfrac{a^2}{9}$ 且 $b = 2c$ 。因此 $a \in \{3, 6, 9\}$ ，对应 $c \in \{1, 4, 9\}$ 和 $b \in \{2, 8, 18\}$ ；情况 $b = 18$ 不是一个数字。有效三元组为 $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ 和 $(6, 8, 4)$ ，而且确实有 $4444 - 88 = 4356 = 66^2$ 。较大的数字和为 $6 + 8 + 4 = 18$ 。

所以正确答案是 D。

Using $A_n = a \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ $B_n = b \cdot \tfrac{10^n - 1}{9},$ and $C_n = c \cdot \tfrac{10^{2n} - 1}{9},$ the equation $C_n - B_n = A_n^2$ becomes, after dividing by $10^n - 1$ and clearing fractions, $(9c - a^2) \cdot 10^n = 9b - 9c - a^2.$ For this to hold at two different $n,$ the coefficient of $10^n$ must be zero, so $9c = a^2$ and hence $9b - 9c - a^2 = 0.$

Then $c = \tfrac{a^2}{9}$ and $b = 2c.$ So $a \in \{3, 6, 9\}$ with $c \in \{1, 4, 9\}$ and $b \in \{2, 8, 18\};$ the case $b = 18$ is not a digit. The valid triples are $(a, b, c) = (3, 2, 1)$ and $(6, 8, 4),$ and indeed $4444 - 88 = 4356 = 66^2.$ The greater digit sum is $6 + 8 + 4 = 18.$

Thus, the correct answer is D.