Question

在 $\triangle PAT$ 中， $\angle P = 36^\circ$ ， $\angle A = 56^\circ$ ，且 $PA = 10$ 。点 $U$ 和 $G$ 分别在边 $\overline{TP}$ 和 $\overline{TA}$ 上，使得 $PU = AG = 1$ 。设 $M$ 和 $N$ 分别为线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{UG}$ 的中点。直线 $MN$ 和 $PA$ 所成锐角的度数是多少？

In $\triangle PAT,$ $\angle P = 36^\circ,$ $\angle A = 56^\circ,$ and $PA = 10.$ Points $U$ and $G$ lie on sides $\overline{TP}$ and $\overline{TA},$ respectively, so that $PU = AG = 1.$ Let $M$ and $N$ be the midpoints of segments $\overline{PA}$ and $\overline{UG},$ respectively. What is the degree measure of the acute angle formed by lines $MN$ and $PA?$

$76$

$77$

$78$

$79$

$80$

答案：E

知识点：导角中点平行四边形

难度评级：2370

小提示：

延长 $PN$ 到 $Q$ ，使 $PN = NQ$ ；则 $UPGQ$ 是平行四边形，所以 $GQ \parallel PT$ 且 $GQ = PU = AG$ 。

Extend $PN$ to $Q$ with $PN = NQ;$ then $UPGQ$ is a parallelogram, so $GQ \parallel PT$ and $GQ = PU = AG$

大提示：

三角形 $QGA$ 是等腰三角形，且 $MN$ 是三角形 $QPA$ 的中位线，所以 $\angle NMA = \angle QAP$ 。

Triangle $QGA$ is isosceles, and $MN$ is a midline of triangle $QPA,$ so $\angle NMA = \angle QAP$

解答：

将 $PN$ 经过 $N$ 延长到 $Q$ ，使 $PN = NQ$ 。因为 $N$ 是 $UG$ 和 $PQ$ 的中点，四边形 $UPGQ$ 是平行四边形，所以 $GQ \parallel PT$ 且 $GQ = PU = 1 = AG$ 。因此 $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ$ ，等腰三角形 $QGA$ 给出 $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ$ 。

因为 $M, N$ 是中点， $MN$ 是 $\triangle QPA$ 的中位线，所以 $MN \parallel AQ$ ，并且 $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ\text{。} \end{aligned}$ 因此直线 $MN$ 和 $PA$ 所成锐角为 $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ 。

所以正确答案是 E。

Extend $PN$ through $N$ to $Q$ with $PN = NQ.$ Since $N$ is the midpoint of $UG$ and of $PQ,$ the quadrilateral $UPGQ$ is a parallelogram, so $GQ \parallel PT$ and $GQ = PU = 1 = AG.$ Then $\angle QGA$ $= 180^\circ - \angle T$ $= \angle P + \angle A$ $= 36^\circ + 56^\circ = 92^\circ,$ and the isosceles triangle $QGA$ gives $\angle QAG = \tfrac12(180^\circ - 92^\circ) = 44^\circ.$

Because $M, N$ are midpoints, $MN$ is a midline of $\triangle QPA,$ so $MN \parallel AQ$ and $\begin{aligned} \angle NMP &= \angle QAP \\ &= \angle QAG + \angle GAP \\ &= 44^\circ + 56^\circ = 100^\circ. \end{aligned}$ The acute angle between line $MN$ and $PA$ is therefore $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12A 第 23 题

答案：E

难度评级：2370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题