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2006 AMC 12B 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

等腰 △ABC\triangle ABC 在 CC 处为直角。点 PP 在 △ABC\triangle ABC 内部，且 PA=11PA = 11、PB=7PB = 7、PC=6PC = 6。直角边 AC‾\overline{AC} 和 BC‾\overline{BC} 的长度为 s=a+b2s = \sqrt{a + b\sqrt{2}}，其中 aa 和 bb 为正整数。求 a+ba + b。

Isosceles △ABC\triangle ABC has a right angle at C.C. Point PP is inside △ABC,\triangle ABC, such that PA=11,PA = 11, PB=7,PB = 7, and PC=6.PC = 6. Legs AC‾\overline{AC} and BC‾\overline{BC} have length s=a+b2,s = \sqrt{a + b\sqrt{2}}, where aa and bb are positive integers. What is a+b?a + b?

8585

9191

108108

121121

127127

答案：E
知识点：变换余弦定理勾股定理
难度评级：2390
小提示：

将 △ABC\triangle ABC 绕 CC 旋转 90∘90^\circ，使 AA 映到 BB

Rotate △ABC\triangle ABC by 90∘90^\circ about CC so that AA maps onto BB

大提示：

PP 的像与 PP 构成一个等腰直角三角形，从而确定 ∠BPC\angle BPC。

The image of PP forms an isosceles right triangle with P,P, which pins down ∠BPC\angle BPC

解答：

将 △ABC\triangle ABC 绕 CC 旋转 90∘90^\circ，使 AA 映到 BB，PP 映到 P′P'。则 CP′=CP=6CP' = CP = 6，且 ∠PCP′=90∘\angle PCP' = 90^\circ，所以 △PCP′\triangle PCP' 是等腰直角三角形，PP′=62PP' = 6\sqrt2。

另外 BP′=AP=11BP' = AP = 11。因为 (62)2+72=72+49(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49 =121=112= 121 = 11^2，三角形 BPP′BPP' 在 PP 处为直角。因此 ∠BPC=∠BPP′\angle BPC = \angle BPP' +∠P′PC=90∘+ \angle P'PC = 90^\circ +45∘=135∘+ 45^\circ = 135^\circ。

在 △BPC\triangle BPC 中使用余弦定理：BC2=62+72−2⋅6⋅7cos⁡135∘=85+422。 \begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2 \end{aligned}\text{。}

所以 s2=85+422s^2 = 85 + 42\sqrt2，得到 a=85a = 85、b=42b = 42，因此 a+b=127a + b = 127。

因此，正确答案是 E。

Rotate △ABC\triangle ABC by 90∘90^\circ about C,C, sending AA to BB and PP to P′.P'. Then CP′=CP=6CP' = CP = 6 and ∠PCP′=90∘,\angle PCP' = 90^\circ, so △PCP′\triangle PCP' is an isosceles right triangle with PP′=62.PP' = 6\sqrt2.

Also BP′=AP=11.BP' = AP = 11. Since (62)2+72=72+49(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49 =121=112,= 121 = 11^2, triangle BPP′BPP' has a right angle at P.P. Hence ∠BPC=∠BPP′\angle BPC = \angle BPP' +∠P′PC=90∘+ \angle P'PC = 90^\circ +45∘=135∘.+ 45^\circ = 135^\circ.

By the Law of Cosines in △BPC,\triangle BPC, BC2=62+72−2⋅6⋅7cos⁡135∘=85+422. \begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}

So s2=85+422,s^2 = 85 + 42\sqrt2, giving a=85,a = 85, b=42,b = 42, and a+b=127.a + b = 127.

Thus, the correct answer is E.

第 22 题#22
完整试卷
第 24 题#24

其他年份的第 23 题

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