Question

一个三角形的三边长为连续整数，且最大角是最小角的两倍。最小角的余弦值为

The lengths of the sides of a triangle are consecutive integers, and the largest angle is twice the smallest angle. The cosine of the smallest angle is

$\frac34$

$\frac7{10}$

$\frac23$

$\frac9{14}$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：正弦定理余弦定理三角恒等式

难度评级：2150

小提示：

设最小角与最大角分别为 $\theta$ 和 $2\theta$

Let the smallest and largest angles be $\theta$ and $2\theta$

大提示：

用正弦定理比较最短边与最长边

Use the law of sines to compare the shortest and longest consecutive sides

解答：

设连续的三边长为 $n$ 、 $n+1$ 、 $n+2$ ，其对角分别为 $\theta$ 、 $\phi$ 、 $2\theta$ 。由正弦定理， $\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta\text{。}$ 对最小角使用余弦定理还可得 $\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}\text{。}$ 令两式相等，得到 $n^2-3n-4=0$ ，所以 $n=4$ 。因此三边长为 $4$ 、 $5$ 、 $6$ ，且 $\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}$ 。

因此，正确答案为 A。

Let the consecutive sides be $n,$ $n+1,$ $n+2,$ opposite angles $\theta,$ $\phi,$ $2\theta.$ By the law of sines, $\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta.$ The law of cosines at the smallest angle also gives $\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}.$ Equating these expressions yields $n^2-3n-4=0,$ so $n=4.$ Hence the sides are $4,$ $5,$ $6$ and $\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}.$

Therefore, the correct answer is A.

1982 AMC 12 第 23 题

答案：A

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题