Question

对任意大于 $1$ 的整数 $n$ ，大于 $n!+1$ 且小于 $n!+n$ 的质数个数为：

这里 $n!=1\cdot2\cdots(n-1)n$ 。

For any integer $n$ greater than $1,$ the number of prime numbers greater than $n!+1$ and less than $n!+n$ is:

Here $n!=1\cdot2\cdots(n-1)n.$

$0$

$1$

当 $n$ 为偶数时是 $\dfrac n2$ ，当 $n$ 为奇数时是 $\dfrac{n+1}{2}$

$\dfrac n2$ for $n$ even, $\dfrac{n+1}{2}$ for $n$ odd

$n-1$

$n$

答案：A

知识点：阶乘整除性质数

难度评级：1780

小提示：

严格位于两个端点之间的每个整数都可写成 $n!+k$ ，其中 $2\le k\le n-1$

Every integer strictly between the endpoints has the form $n!+k$ with $2\le k\le n-1$

大提示：

利用 $k$ 同时整除 $n!$ 和 $n!+k$

Use the fact that $k$ divides both $n!$ and $n!+k$

解答：

区间中的每个整数都可写成 $n!+k$ ，其中 $2\le k\le n-1$ 。因为 $n!$ 是 $k$ 的倍数，所以 $n!+k$ 也是它的倍数，并且 $n!+k\gt k$ 。因此每个这样的整数都是合数。（当 $n=2$ 时，该区间为空。）所以区间中没有质数。

所以正确答案是 A。

Every integer in the interval has the form $n!+k$ for some $2\le k\le n-1.$ Because $n!$ is divisible by $k,$ so is $n!+k,$ and $n!+k\gt k.$ Thus every such integer is composite. (For $n=2,$ the interval is empty.) Hence there are no primes in the interval.

Therefore, the correct answer is A.

1969 AMC 12 第 23 题

答案：A

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题