Question

等边 $\triangle ABC$ 内接于一个圆。另一个圆在 $T$ 处与外接圆内切，并与边 $AB$ 和 $AC$ 分别相切于点 $P$ 和 $Q$ 。若边 $BC$ 的长度为 $12$ ，则线段 $PQ$ 的长度为

Equilateral $\triangle ABC$ is inscribed in a circle. A second circle is tangent internally to the circumcircle at $T$ and tangent to sides $AB$ and $AC$ at points $P$ and $Q.$ If side $BC$ has length $12,$ then segment $PQ$ has length

$6$

$6\sqrt3$

$8$

$8\sqrt3$

$9$

答案：C

知识点：等边三角形相切圆相似

难度评级：1910

小提示：

利用对称性，将两个圆心和 $T$ 都置于从 $A$ 引出的高上

Use symmetry to place both circle centers and $T$ on the altitude from $A$

大提示：

利用 $30^\circ$ 半角（其顶点为 $A$ ），把小圆半径与外接圆半径联系起来

Relate the smaller circle’s radius to the circumradius using the $30^\circ$ half-angle at $A$

解答：

等边三角形的外接圆半径为 $R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$ 。若小圆半径为 $r$ ，其圆心在高上，离顶点的距离为 $2r$ ，这个顶点是 $A$ ，因为圆心到任一边的距离为 $r$ ，而半角为 $30^\circ$ 。由下端的内切关系可得 $2r=2R-r$ ，所以 $r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}$ 。两边上的切点之间的距离为 $PQ=r\sqrt3=8$ 。

所以正确答案是 C。

The circumradius of the equilateral triangle is $R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$ If the smaller radius is $r,$ its center lies on the altitude and is $2r$ from $A,$ because its distance to either side is $r$ and the half-angle is $30^\circ.$ Internal tangency at the bottom gives $2r=2R-r,$ so $r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.$ The tangency points on the two sides are separated by $PQ=r\sqrt3=8.$

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题