Question

在 $xy$ 平面内，考虑由水平和竖直线段围成的 L 形区域，其顶点为 $(0,0)$ 、 $(0,3)$ 、 $(3,3)$ 、 $(3,1)$ 、 $(5,1)$ 和 $(5,0)$ 。经过原点且将该区域面积恰好平分的直线斜率是

In the $xy$ -plane, consider the L-shaped region bounded by horizontal and vertical segments with vertices at $(0,0),$ $(0,3),$ $(3,3),$ $(3,1),$ $(5,1)$ and $(5,0).$ The slope of the line through the origin that divides the area of this region exactly in half is

$\frac27$

$\frac13$

$\frac23$

$\frac34$

$\frac79$

答案：E

知识点：坐标几何 area bisectors 斜率

难度评级：1960

小提示：

这个 L 形区域的总面积为 $11$

The L-shaped region has total area $11$

大提示：

设所求斜率为 $m$ ，直线下方的面积由面积为 $2$ 的延伸部分和一个底为 $3$ 的三角形组成

For the desired slope $m,$ the area below the line is the $2$ -unit extension plus a triangle of base $3$

解答：

该区域的面积为 $3\cdot3+2\cdot1=11$ ，所以每一半的面积为 $\frac{11}{2}$ 。若直线为 $y=mx$ ，则直线下方包含面积为 $2$ 的整个长方形（从 $x=3$ 到 $x=5$ ），以及一个底为 $3$ 、高为 $3m$ 的三角形。因此 $2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}\text{。}$ 由此得 $m=\frac{7}{9}$ ，它确实位于所假设的范围内。因此正确答案是 E。

The region has area $3\cdot3+2\cdot1=11,$ so each half has area $\frac{11}{2}.$ If the line is $y=mx,$ the part below it consists of the entire $2$ -unit rectangle from $x=3$ to $x=5,$ together with a triangle of base $3$ and height $3m.$ Therefore $2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.$ This gives $m=\frac{7}{9},$ which indeed lies in the assumed range. Thus the correct answer is E.

1994 AMC 12 第 23 题

答案：E

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题