Question

三个球被随机且相互独立地投入编号为正整数的箱子中。对每个球，它被投入箱子 $i$ 的概率为 $2^{-i}$ ，其中 $i=1$ ， $2$ ， $3$ ， $\ldots$ 。每个箱子可以有多个球。三个球最终落在不同且等间距的箱子中的概率为 $\dfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。（例如，若球被投入箱子 $3$ 、 $17$ 和 $10$ ，则这些箱子是等间距的。） $p+q$ 是多少？

Three balls are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $i$ is $2^{-i}$ for $i=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ More than one ball is allowed in each bin. The probability that the balls end up evenly spaced in distinct bins is $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. (For example, the balls are evenly spaced if they are tossed into bins $3,$ $17,$ and $10.$ ) What is $p+q?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

答案：A

知识点：基本概率等比数列等差数列

难度评级：2390

小提示：

等间距表示箱子编号为 $n, n+d, n+2d$ ，其中 $n,d\ge 1$ ；它们的编号和为 $3(n+d)$

Evenly spaced means the bins are $n, n+d, n+2d$ for some $n,d\ge 1;$ their labels sum to $3(n+d)$

大提示：

每种这样的有序投放概率为 $2^{-3(n+d)}$ ，三个球有 $3!$ 种排列方式

Each such ordered assignment has probability $2^{-3(n+d)},$ and there are $3!$ orderings of the three balls

解答：

不同且等间距的箱子形成等差数列 $n,n+d,n+2d$ ，其中 $n,d\ge 1$ 。三个编号之和为 $3(n+d)$ ，因此把球固定分配到这三个箱子的概率为 $2^{-3(n+d)}$ 。

三个球可以按 $3!=6$ 种方式对应到这些箱子，所以总概率为 $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}$ 。

因为 $\gcd(6,49)=1$ ，得 $p+q=6+49=55$ 。

所以正确答案是 A。

Evenly spaced distinct bins form an arithmetic progression $n,n+d,n+2d$ with $n,d\ge 1.$ The three labels sum to $3(n+d),$ so a fixed assignment of balls to these bins has probability $2^{-3(n+d)}.$

The three balls can be ordered in $3!=6$ ways, so the total probability is $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.$

Since $\gcd(6,49)=1,$ we get $p+q=6+49=55.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring 第 23 题

答案：A

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题