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2005 AMC 12B 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

设 SS 为所有满足 log⁡10(x+y)=z \log_{10}(x + y) = z 和 log⁡10(x2+y2)=z+1。 \log_{10}(x^2 + y^2) = z + 1\text{。} 的实数有序三元组 (x,y,z)(x, y, z) 的集合。存在实数 aa 和 bb，使得对 SS 中所有 (x,y,z)(x, y, z)，都有 x3+y3=a⋅103z+b⋅102zx^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}。a+ba + b 的值是多少？

Let SS be the set of ordered triples (x,y,z)(x, y, z) of real numbers for which log⁡10(x+y)=z \log_{10}(x + y) = z and log⁡10(x2+y2)=z+1. \log_{10}(x^2 + y^2) = z + 1. There are real numbers aa and bb such that for all ordered triples (x,y,z)(x, y, z) in SS we have x3+y3=a⋅103z+b⋅102z.x^3 + y^3 = a \cdot 10^{3z} + b \cdot 10^{2z}. What is the value of a+b?a + b?

152\dfrac{15}{2}

292\dfrac{29}{2}

1515

392\dfrac{39}{2}

2424

答案：B
知识点：立方和与立方差对数对称性（代数）
难度评级：2110
小提示：

把条件改写为 x+y=10zx + y = 10^z 和 x2+y2=10⋅10zx^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z。

Rewrite the conditions as x+y=10zx + y = 10^z and x2+y2=10⋅10zx^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z

大提示：

使用 x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)，其中 xy=12[(x+y)2−(x2+y2)]xy = \tfrac12\left[(x+y)^2 - (x^2+y^2)\right]。

Use x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) with xy=12[(x+y)2−(x2+y2)]xy = \tfrac12\left[(x+y)^2 - (x^2+y^2)\right]

解答：

条件给出 x+y=10zx + y = 10^z 和 x2+y2=10⋅10zx^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z。于是 2xy=(x+y)2−(x2+y2)=102z−10⋅10z， \begin{aligned} &2xy = (x+y)^2 - (x^2+y^2) \\ &= 10^{2z} - 10 \cdot 10^z \end{aligned}\text{，}所以 xy=12(102z−10⋅10z)xy = \dfrac12\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right)。

使用 x3+y3x^3 + y^3 =(x+y)3−3xy(x+y)= (x+y)^3 - 3xy(x+y)，得到 x3+y3=103z−32(102z−10⋅10z)10z=−12⋅103z+15⋅102z。 \begin{aligned} &x^3 + y^3 = 10^{3z} \\ &\quad {}- \dfrac32\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right)10^z \\ &= -\dfrac12 \cdot 10^{3z} + 15 \cdot 10^{2z} \end{aligned}\text{。}

所以 a=−12a = -\dfrac12、b=15b = 15，从而 a+b=292a + b = \dfrac{29}{2}。这些系数是唯一确定的：令 z=0z=0，可得实数解 x,y=1±192x,y=\dfrac{1\pm\sqrt{19}}{2}，其方程迫使 a+ba+b 仍取同一值。

所以正确答案是 B。

The conditions give x+y=10zx + y = 10^z and x2+y2=10⋅10z.x^2 + y^2 = 10 \cdot 10^z. Then 2xy=(x+y)2−(x2+y2)=102z−10⋅10z, \begin{aligned} &2xy = (x+y)^2 - (x^2+y^2) \\ &= 10^{2z} - 10 \cdot 10^z, \end{aligned} so xy=12(102z−10⋅10z).xy = \dfrac12\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right).

Using x3+y3x^3 + y^3 =(x+y)3−3xy(x+y),= (x+y)^3 - 3xy(x+y), x3+y3=103z−32(102z−10⋅10z)10z=−12⋅103z+15⋅102z. \begin{aligned} &x^3 + y^3 = 10^{3z} \\ &\quad {}- \dfrac32\left(10^{2z} - 10 \cdot 10^z\right)10^z \\ &= -\dfrac12 \cdot 10^{3z} + 15 \cdot 10^{2z}. \end{aligned}

So a=−12a = -\dfrac12 and b=15,b = 15, giving a+b=292.a + b = \dfrac{29}{2}. These coefficients are determined: setting z=0z=0 gives real solutions x,y=1±192,x,y=\dfrac{1\pm\sqrt{19}}{2}, and their equation forces this same value of a+b.a+b.

Thus, the correct answer is B.

第 22 题#22
完整试卷
第 24 题#24

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