LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

1972 AMC 12 第 23 题

先试着解答 1972 AMC 12 第 23 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1972 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

能包含图中由 33 个单位正方形组成的对称图形的最小圆半径为：

The radius of the smallest circle containing the symmetric figure composed of 33 unit squares shown is:

2\sqrt2

1.25\sqrt{1.25}

1.251.25

51716\dfrac{5\sqrt{17}}{16}

以上皆非

None of these

答案：D
知识点：圆坐标几何对称性最优化
难度评级：2380
小提示：

利用对称性，把圆心放在图形的竖直对称轴上

By symmetry, place the circle’s center on the vertical axis of the figure

大提示：

令圆心到下方外角点与上方外角点的距离相等

Equate its distances to a lower outer corner and an upper outer corner

解答：

把底边中点置于 O=(0,0)O=(0,0)。一个下方外角点为 A=(1,0)A=(1,0)，一个上方外角点为 B=(12,2)B=(\frac{1}{2},2)。由对称性，最小外接圆的圆心为 P=(0,k)P=(0,k)。在最优位置，两类外角点都在圆上，所以 1+k2=(12)2+(2−k)2。 1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2\text{。}解得 k=1316k=\frac{13}{16}。因此 r2=1+(1316)2=425256,r=51716。 \begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Put the midpoint of the bottom edge at O=(0,0).O=(0,0). A lower outer corner is A=(1,0),A=(1,0), and an upper outer corner is B=(12,2).B=(\frac{1}{2},2). By symmetry the center of the smallest enclosing circle is P=(0,k).P=(0,k). At the optimum both types of outer corner lie on the circle, so 1+k2=(12)2+(2−k)2. 1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2. This gives k=1316.k=\frac{13}{16}. Hence r2=1+(1316)2=425256,r=51716. \begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

← 第 22 题#22
完整试卷
第 24 题#24 →

其他年份的第 23 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B