Question

随机选择两个不同的数 $a$ 和 $b$ ，它们都来自集合 $\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}$ 。 $\log_a b$ 为整数的概率是多少？

Two distinct numbers $a$ and $b$ are chosen randomly from the set $\{2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{25}\}.$ What is the probability that $\log_a b$ is an integer?

$\dfrac{2}{25}$

$\dfrac{31}{300}$

$\dfrac{13}{100}$

$\dfrac{7}{50}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：B

知识点：整除性取整函数基本概率

难度评级：2330

小提示：

写 $a = 2^j$ 、 $b = 2^k$ ，则 $\log_a b = \dfrac{k}{j}$ 。

Write $a = 2^j$ and $b = 2^k,$ so $\log_a b = \dfrac{k}{j}$

大提示：

对每个 $j$ ，数出 $j$ 在 $1, \ldots, 25$ 中的倍数；排除 $j$ 本身后，个数为 $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1$ 。

For each $j,$ count the multiples of $j$ among $1, \ldots, 25$ other than $j$ itself, namely $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1$

解答：

设 $a = 2^j$ ， $b = 2^k$ 。则 $\log_a b = \dfrac{k}{j}$ ，它为整数当且仅当 $k$ 是 $j$ 的倍数。

对每个 $j$ ，满足 $k \ne j$ 且位于 $\{1, \ldots, 25\}$ 中的有效指数共有 $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1$ 个。对 $j$ 求和得到 $\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}$ 个有序对 $(a, b)$ 。

总共有 $25 \cdot 24 = 600$ 个有序不同对，所以概率为 $\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}$ 。

所以正确答案是 B。

Let $a = 2^j$ and $b = 2^k.$ Then $\log_a b = \dfrac{k}{j},$ which is an integer exactly when $k$ is a multiple of $j.$

For each $j,$ the number of valid $k \ne j$ in $\{1, \ldots, 25\}$ is $\left\lfloor \tfrac{25}{j} \right\rfloor - 1.$ Summing over $j$ gives $\begin{aligned} &24 + 11 + 7 + 5 + 4 + 3 + 2 \\ &\quad {}+ 2 + 4 \cdot 1 = 62 \end{aligned}$ ordered pairs $(a, b).$

Since there are $25 \cdot 24 = 600$ ordered pairs of distinct elements, the probability is $\dfrac{62}{600} = \dfrac{31}{300}.$

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12A 第 23 题

答案：B

难度评级：2330

小提示：

大提示：

解答：

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