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2002 AMC 12A 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

在三角形 ABCABC 中，边 AC‾\overline{AC} 与 BC‾\overline{BC} 的垂直平分线交于点 DD，且 BD‾\overline{BD} 平分 ∠ABC\angle ABC。若 AD=9AD = 9，DC=7DC = 7，求三角形 ABDABD 的面积。

In triangle ABC,ABC, side AC‾\overline{AC} and the perpendicular bisector of BC‾\overline{BC} meet in point D,D, and BD‾\overline{BD} bisects ∠ABC.\angle ABC. If AD=9AD = 9 and DC=7,DC = 7, what is the area of triangle ABD?ABD?

1414

2121

2828

14514\sqrt{5}

28528\sqrt{5}

答案：D
知识点：角平分线定理垂直平分线余弦定理海伦公式
难度评级：2110
小提示：

DD 在 BC‾\overline{BC} 的垂直平分线上，所以 DB=DC=7DB = DC = 7。

DD is on the perpendicular bisector of BC‾,\overline{BC}, so DB=DC=7DB = DC = 7

大提示：

角平分线给出 ABBC=ADDC=97\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}；再用 △BDC\triangle BDC 读出 cos⁡θ\cos\theta，并应用余弦定理。

The angle bisector gives ABBC=ADDC=97;\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}; apply the Law of Cosines with cos⁡θ\cos\theta read from △BDC\triangle BDC

解答：

因为 DD 在 BC‾\overline{BC} 的垂直平分线上，所以 DB=DC=7DB = DC = 7。角平分线 BD‾\overline{BD} 给出 ABBC=ADDC=97\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}，设 AB=9xAB = 9x，BC=7xBC = 7x。

令 θ=∠ABD=∠DBC\theta = \angle ABD = \angle DBC。在等腰三角形 △BDC\triangle BDC 中，垂足是 BC‾\overline{BC} 的中点 MM，所以 cos⁡θ=BMBD=7x27=x2\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}。

在 △ABD\triangle ABD 中应用余弦定理：92=(9x)2+72−2(9x)(7)⋅x2，9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2}\text{，}化简得 81=18x2+4981 = 18x^2 + 49，所以 x=43x = \dfrac43，AB=12AB = 12。

现在 △ABD\triangle ABD 的三边为 9,7,129, 7, 12。由海伦公式，半周长 s=14s = 14，面积为 14⋅5⋅7⋅2=980=145\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5。

因此，正确答案是 D。

Since DD lies on the perpendicular bisector of BC‾,\overline{BC}, DB=DC=7.DB = DC = 7. The angle bisector BD‾\overline{BD} gives ABBC=ADDC=97,\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{9}{7}, so write AB=9xAB = 9x and BC=7x.BC = 7x.

Let θ=∠ABD=∠DBC.\theta = \angle ABD = \angle DBC. In isosceles △BDC,\triangle BDC, the foot of the perpendicular is the midpoint MM of BC‾,\overline{BC}, so cos⁡θ=BMBD=7x27=x2.\cos\theta = \dfrac{BM}{BD} = \dfrac{\frac{7x}{2}}{7} = \dfrac{x}{2}.

Applying the Law of Cosines in △ABD:\triangle ABD: 92=(9x)2+72−2(9x)(7)⋅x2,9^2 = (9x)^2 + 7^2 - 2(9x)(7)\cdot\dfrac{x}{2}, which simplifies to 81=18x2+49,81 = 18x^2 + 49, so x=43x = \dfrac43 and AB=12.AB = 12.

Now △ABD\triangle ABD has sides 9,7,12.9, 7, 12. By Heron’s formula with s=14,s = 14, the area is 14⋅5⋅7⋅2=980=145.\sqrt{14\cdot 5\cdot 7\cdot 2} = \sqrt{980} = 14\sqrt5.

Thus, the correct answer is D.

第 22 题#22
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第 24 题#24

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