Question

分数 $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0}\text{，}$ 其中 $n$ 是循环小数节的长度。求 $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}$ 。

The fraction $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0},$ where $n$ is the length of the period of the repeating decimal expansion. What is the sum $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?$

$874$

$883$

$887$

$891$

$892$

答案：B

知识点：循环小数数字找规律

难度评级：2380

小提示：

因为 $\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9801}$ ，循环节满足 $10^n-1=9801\cdot\overline{b_{n-1}\ldots b_0}$ 。

Since $\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9801}$ , the repeating block satisfies $10^n-1=9801\cdot\overline{b_{n-1}\ldots b_0}$

大提示：

把循环小数按 $100$ 进制每两位一组分块，并利用 $(100-1)^{-2}$ 的展开；跟踪进位，直到第一个 $100$ 进制数字再次出现。

Group the repeating decimal into base- $100$ digits and use $(100-1)^{-2};$ follow the carries until the first base- $100$ digit repeats

解答：

把循环节按每两位一组读取（即用 $100$ 进制）， $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ 的展开是 $00,01,02,\ldots$ ，因为 $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}$ 。令 $a_j$ 为循环节的第 $j$ 个 $100$ 进制数字。将循环节乘以 $99^2$ ，首先得到 $a_0=99$ 。随后的进位给出 $a_1=97$ ，此后不再进位，并依次得到 $a_j=98-j$ ，其中 $1\le j\le98$ 。下一个数字又是 $99$ ，所以循环节是 $00,01,02,\ldots,96,97,99$ ，其中缺少 $98$ 。

如果从 $00$ 到 $99$ 的所有数块都出现，数字和将是 $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900$ 。去掉缺少的 $98$ 要减去 $9+8$ ，得到 $900-9-8=883$ 。

因此，正确答案是 B。

Reading the block in pairs of digits (base $100$ ), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ expands as $00,01,02,\ldots,$ since $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ Let $a_j$ be the $j$ th base- $100$ digit of the repeating block. Multiplying the block by $99^2$ shows first that $a_0=99.$ The resulting carry gives $a_1=97,$ after which there is no carry and successively $a_j=98-j$ for $1\le j\le98.$ The next digit is again $99,$ so the period is $00,01,02,\ldots,96,97,99,$ with $98$ omitted.

If the blocks $00$ through $99$ all appeared, the digit sum would be $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Removing the missing $98$ subtracts $9+8,$ giving $900-9-8=883.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A 第 23 题

答案：B

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题