Question

点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 位于一个直径为 $1$ 的圆上，点 $X$ 位于直径 $\overline{AD}$ 上。若 $BX=CX$ ，且 $3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ$ ，则 $AX=$

Points $A,$ $B,$ $C$ and $D$ are on a circle of diameter $1,$ and $X$ is on diameter $\overline{AD}.$ If $BX=CX$ and $3\angle BAC=\angle BXC=36^\circ,$ then $AX=$

$\cos6^\circ\cos12^\circ\sec18^\circ$

$\cos6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ$

$\cos6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ$

$\sin6^\circ\sin12^\circ\csc18^\circ$

$\sin6^\circ\sin12^\circ\sec18^\circ$

答案：B

知识点：circle geometry 角平分线正弦定理

难度评级：2280

小提示：

因为 $BX=CX$ ，经过 $X$ 的直径平分 $\angle BXC$ 。

Because $BX=CX,$ the diameter through $X$ bisects $\angle BXC$

大提示：

求 $AB$ 时利用直角三角形 $ABD$ ，再在 $\triangle ABX$ 中应用正弦定理。

Find $AB$ using right triangle $ABD,$ then apply the Law of Sines in $\triangle ABX$

解答：

因为 $BX=CX$ ，直线 $AD$ 平分 $\angle BXC$ ，由对称性还可得 $\angle BAD=6^\circ$ 。因为直径 $AD=1$ ，所以 $\angle ABD=90^\circ$ ，从而 $AB=\cos6^\circ$ 。此外， $\begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ \end{gathered}\text{。}$ 在 $\triangle ABX$ 中应用正弦定理，得到 $\begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ \end{aligned}\text{。}$ 因此正确答案是 B。

Since $BX=CX,$ the line $AD$ bisects $\angle BXC,$ and symmetry also gives $\angle BAD=6^\circ.$ Because $AD=1$ is a diameter, $\angle ABD=90^\circ,$ so $AB=\cos6^\circ.$ Also $\begin{gathered} \angle AXB=180^\circ-18^\circ=162^\circ, \\ \angle ABX=180^\circ-162^\circ\\ {}-6^\circ=12^\circ. \end{gathered}$ The Law of Sines in $\triangle ABX$ gives $\begin{aligned} AX&=\frac{AB\sin12^\circ}{\sin162^\circ}\\ &=\cos6^\circ\sin12^\circ\\ &\qquad{}\csc18^\circ. \end{aligned}$ Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：2280

小提示：

大提示：

解答：

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