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1985 AMC 12 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

若 x=−1+i32,y=−1−i32， \begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}\text{，} \end{aligned} 其中 i2=−1i^2=-1，则以下哪一项不正确？

If x=−1+i32,y=−1−i32, \begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}, \end{aligned} where i2=−1,i^2=-1, then which of the following is not correct?

x5+y5=−1x^5+y^5=-1

x7+y7=−1x^7+y^7=-1

x9+y9=−1x^9+y^9=-1

x11+y11=−1x^{11}+y^{11}=-1

x13+y13=−1x^{13}+y^{13}=-1

答案：C
知识点：复数模运算单位根
难度评级：2130
小提示：

识别出 xx 和 yy 是两个非实的三次单位根

Recognize xx and yy as the two nonreal cube roots of unity

大提示：

它们的幂只取决于指数模 33 的余数

Their powers depend only on the exponent modulo 33

解答：

这两个数是两个非实的三次单位根，所以 xn+yn=2cos⁡(2πn3)。 x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right)\text{。} 该式等于 −1-1（当 nn 不是 33 的倍数时），但等于 22（当 nn 是 33 的倍数时）。所列指数中只有 99 能被 33 整除，所以对应的等式是不正确的一项。

因此正确答案是 C。

The numbers are the two nonreal cube roots of unity, so xn+yn=2cos⁡(2πn3). x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right). This equals −1-1 when nn is not divisible by 3,3, but equals 22 when nn is divisible by 3.3. Of the listed exponents, only 99 is divisible by 3,3, so its displayed equation is the one that is not correct.

Therefore the correct answer is C.

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