Question

在附图中， $TP$ 与 $T'Q$ 是半径为 $r$ 的圆的两条平行切线， $T$ 和 $T'$ 为切点。 $PT''Q$ 是第三条切线，切点为 $T''$ 。若 $TP=4$ ，且 $T'Q=9$ ，则 $r$ 为

In the adjoining figure $TP$ and $T'Q$ are parallel tangents to a circle of radius $r,$ with $T$ and $T'$ the points of tangency. $PT''Q$ is a third tangent with $T''$ as point of tangency. If $TP=4$ and $T'Q=9$ then $r$ is

$\frac{25}{6}$

$6$

$\frac{25}{4}$

不同于 $\frac{25}{6}$ 、 $6$ 或 $\frac{25}{4}$ 的数

a number other than $\frac{25}{6},$ $6,$ or $\frac{25}{4}$

无法由已知信息确定

not determinable from the given information

答案：B

知识点：切线直角三角形相似

难度评级：2070

小提示：

圆心位于同一外点所引两条切线夹角的角平分线上

The center lies on each angle bisector formed by two tangents from the same external point

大提示：

证明 $\angle POQ=90^\circ$ ，并在 $T''$ 处使用直角三角形斜边上高的定理

Show that $\angle POQ=90^\circ$ and use the altitude-to-hypotenuse theorem at $T''$

解答：

从每个外点出发，到切点的半径构成全等的直角三角形，所以 $OP$ 与 $OQ$ 分别平分两个切线夹角。由于另外两条切线平行，这两个半角之和为 $90^\circ$ ，因此 $\angle POQ=90^\circ$ 。

因此 $OT''=r$ 是斜边 $PQ$ 上的高。由同一外点引出的切线段相等，得 $PT''=PT=4$ 和 $QT''=QT'=9$ 。由斜边上高的定理， $r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36\text{，}$ 所以 $r=6$ 。

因此，正确答案是 B。

The radii to the tangency points make congruent right triangles from each external point, so $OP$ and $OQ$ bisect the two tangent angles. Because the other two tangents are parallel, these half-angles add to $90^\circ;$ hence $\angle POQ=90^\circ.$

Thus $OT''=r$ is the altitude to the hypotenuse $PQ.$ Equal tangent segments give $PT''=PT=4$ and $QT''=QT'=9.$ The altitude theorem yields $r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36,$ so $r=6.$

Therefore, the correct answer is B.

1974 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题