Question

一个三角形的三边长为 $11$ 、 $15$ 、 $k$ ，其中 $k$ 是整数。有多少个 $k$ 值能使该三角形为钝角三角形？

The sides of a triangle have lengths $11,$ $15,$ and $k,$ where $k$ is an integer. For how many values of $k$ is the triangle obtuse?

$5$

$7$

$12$

$13$

$14$

答案：D

知识点：三角不等式 obtuse triangles

难度评级：2060

小提示：

先用三角形不等式确定整数 $k$ 的范围

First use the triangle inequality to bound the integer $k$

大提示：

分别在 $15$ 为最长边和 $k$ 为最长边时检验钝角条件

Test the obtuse inequality separately when $15$ is longest and when $k$ is longest

解答：

由三角形不等式得 $5\le k\le25$ 。当 $k\le15$ 时，最长边为 $15$ ，三角形为钝角三角形的条件是 $15^2\gt11^2+k^2\text{，}$ 从而 $5\le k\le10$ ，共有 $6$ 个值。当 $k\gt15$ 时，钝角条件为 $k^2\gt11^2+15^2=346$ ，得到 $19\le k\le25$ ，共有 $7$ 个值。总数为 $6+7=13$ ，所以正确答案是 D。

The triangle inequality gives $5\le k\le25.$ For $k\le15,$ the longest side is $15,$ and the triangle is obtuse when $15^2\gt11^2+k^2,$ which gives $5\le k\le10,$ or $6$ values. For $k\gt15,$ it is obtuse when $k^2\gt11^2+15^2=346,$ giving $19\le k\le25,$ or $7$ values. The total is $6+7=13,$ so the correct answer is D.

1995 AMC 12 第 23 题

答案：D

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题