Question

一个首项系数为 $1$ 、系数为整数的四次多项式有两个实零点，并且这两个实零点都是整数。以下哪一个也可能是该多项式的一个零点？

A polynomial of degree four with leading coefficient $1$ and integer coefficients has two real zeros, both of which are integers. Which of the following can also be a zero of the polynomial?

$\dfrac{1 + i\sqrt{11}}{2}$

$\dfrac{1 + i}{2}$

$\dfrac{1}{2} + i$

$1 + \dfrac{i}{2}$

$\dfrac{1 + i\sqrt{13}}{2}$

答案：A

知识点：多项式复数二次方程

难度评级：2080

小提示：

先把两个整数根对应的因式提出：剩余因式为 $x^2 + \alpha x + \beta$ ，其中 $\alpha, \beta$ 是整数

Factor out the two integer roots: the remaining factor is $x^2 + \alpha x + \beta$ with $\alpha, \beta$ integers

大提示：

复零点为 $-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}$ ；匹配实部并检查 $\beta$ 是否为整数

The complex zeros are $-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2};$ match the real part and check that $\beta$ is an integer

解答：

写成 $P(x)$ $= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta)$ ，其中 $r, s$ 是整数根；比较系数可知 $\alpha$ 和 $\beta$ 必须是整数。

另外两个零点为 $-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}\text{。}$ 若实部为 $\dfrac{1}{2}$ ，则需要 $\alpha = -1$ ，从而虚部为 $\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}$ 。

选项 A 要求 $\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11}$ ，即 $\beta = 3$ 是整数，所以可行。其他选项都会迫使 $\beta$ 不是整数（例如选项 E 需要 $\beta = 3.5$ ，选项 D 需要 $\alpha = -2$ 且 $\beta = \tfrac{5}{4}$ ）。

因此，正确答案是 A。

Writing $P(x)$ $= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta)$ with integer roots $r, s,$ matching coefficients forces $\alpha$ and $\beta$ to be integers.

The other two zeros are $-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}.$ A real part of $\dfrac{1}{2}$ requires $\alpha = -1,$ making the imaginary part $\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}.$

Choice A needs $\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11},$ i.e. $\beta = 3,$ an integer, so it works. The other choices force a non-integer $\beta$ (for example choice E needs $\beta = 3.5,$ and choice D needs $\alpha = -2$ with $\beta = \tfrac{5}{4}$ ).

Thus, the correct answer is A.

2001 AMC 12 第 23 题

答案：A

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题