Question

如图， $AB$ 和 $BC$ 是正方形 $ABCD$ 的相邻两边； $M$ 是 $AB$ 的中点； $N$ 是 $BC$ 的中点； $AN$ 与 $CM$ 交于 $O$ 。四边形 $AOCD$ 与正方形 $ABCD$ 的面积之比为

In the adjoining figure $AB$ and $BC$ are adjacent sides of square $ABCD;$ $M$ is the midpoint of $AB;$ $N$ is the midpoint of $BC;$ and $AN$ and $CM$ intersect at $O.$ The ratio of the area of $AOCD$ to the area of $ABCD$ is

$\frac56$

$\frac34$

$\frac23$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3-1}{2}$

答案：C

知识点：重心正方形（几何）面积分割

难度评级：1670

小提示：

在三角形 $ABC$ 中， $AN$ 和 $CM$ 都是中线

In triangle $ABC,$ both $AN$ and $CM$ are medians

大提示：

为正方形建立坐标系，并求出重心 $O$ 的坐标

Use coordinates for the square and locate the centroid $O$

解答：

取 $A=(0,0),B=(1,0)$ 、 $C=(1,1),D=(0,1)$ 。因为 $O$ 是三角形 $ABC$ 的重心，所以 $O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ 。三角形 $AOB$ 和 $COB$ 的面积都为 $\frac{1}{6}$ 。从单位正方形中去掉这两个三角形，得到 $[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Take $A=(0,0),B=(1,0),$ $C=(1,1),D=(0,1).$ Since $O$ is the centroid of triangle $ABC,$ $O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).$ Triangles $AOB$ and $COB$ each have area $\frac{1}{6}.$ Removing them from the unit square leaves $[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.$

Therefore, the correct answer is C.

1975 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题