Question

若 $p$ 和 $q$ 都是质数，且 $x^2-px+q=0$ 有两个不同的正整数根，则下列哪些命题为真？

I. 两根之差为奇数。

II. 至少有一个根是质数。

III. $p^2-q$ 是质数。

IV. $p+q$ 是质数。

If $p$ and $q$ are primes and $x^2-px+q=0$ has distinct positive integral roots, then which of the following statements are true?

I. The difference of the roots is odd.

II. At least one root is prime.

III. $p^2-q$ is prime.

IV. $p+q$ is prime.

只有 $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

只有 $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

只有 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

只有 $\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

全部为真。

All are true.

答案：E

知识点：韦达定理质数因数

难度评级：1830

小提示：

两个正整数根的乘积是质数 $q$

The product of the two positive integer roots is the prime $q$

大提示：

两根必为 $1,q$ ，而它们的和为质数迫使 $q=2$

The roots must be $1,q,$ and their prime sum forces $q=2$

解答：

两个正整数根的乘积为 $q$ ，所以两根是 $1$ 和 $q$ 。它们的和为 $p=q+1$ ，只有当 $q=2$ 时这个和才是质数，此时 $p=3$ ，两根为 $1,2$ 。两根之差为 $1$ ，其中一个根是质数， $p^2-q=7$ ，且 $p+q=5$ ；因此四个命题全部成立。

因此，正确答案是 E。

The positive integer roots have product $q,$ so they are $1$ and $q.$ Their sum is $p=q+1,$ which is prime only when $q=2,$ giving $p=3$ and roots $1,2.$ Their difference is $1,$ one root is prime, $p^2-q=7,$ and $p+q=5;$ therefore all four statements hold.

Therefore, the correct answer is E.

1975 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题