LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2022 AMC 12A 第 22 题

先试着解答 2022 AMC 12A 第 22 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2022 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

设 cc 为实数，且 z1z_1，z2z_2 是二次方程 z2−cz+10=0z^2-cz+10=0 的两个复数解。点 z1z_1，z2z_2，1z1\dfrac{1}{z_1}，和 1z2\dfrac{1}{z_2} 是复平面中一个凸四边形 QQ 的顶点。当 QQ 的面积取得最大值时，cc 最接近下列哪一个数？

Let cc be a real number, and let z1,z_1, z2z_2 be the two complex numbers satisfying the quadratic z2−cz+10=0.z^2-cz+10=0. Points z1,z_1, z2,z_2, 1z1,\dfrac{1}{z_1}, and 1z2\dfrac{1}{z_2} are the vertices of a (convex) quadrilateral QQ in the complex plane. When the area of QQ obtains its maximum value, cc is the closest to which of the following?

4.54.5

55

5.55.5

66

6.56.5

答案：A
知识点：复数梯形最优化
难度评级：2270
小提示：

当实数 cc 给出非实根时，z2=z1‾z_2=\overline{z_1} 且 ∣z1∣=∣z2∣=10|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}。

For real cc with complex roots, z2=z1‾z_2=\overline{z_1} and ∣z1∣=∣z2∣=10|z_1|=|z_2|=\sqrt{10}

大提示：

四个点组成一个关于实轴对称的等腰梯形；用根的辐角 θ\theta 表示它的面积

The four points form an isosceles trapezoid symmetric about the real axis; write its area in terms of the root’s angle θ\theta

解答：

若根不是实数，则 z1=10 eiθz_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta} 且 z2=z1‾z_2=\overline{z_1}，因为 z1z2=10z_1z_2=10。于是 1z1=110e−iθ\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta}，1z2=110eiθ\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}。

这个梯形的两条竖边长度分别为 210sin⁡θ2\sqrt{10}\sin\theta 和 2sin⁡θ10\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}}，它们之间的水平距离为 (10−110)cos⁡θ(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta。因此它的面积为 9910sin⁡θcos⁡θ=9920sin⁡2θ， \frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta\text{，} 在 θ=45∘\theta=45^\circ 时取得最大值。

此时 c=z1+z2c=z_1+z_2 =210cos⁡45∘=2\sqrt{10}\cos45^\circ =25≈4.47=2\sqrt5\approx4.47，最接近 4.54.5。

因此，正确答案是 A。

If the roots are non-real, then z1=10 eiθz_1=\sqrt{10}\,e^{i\theta} and z2=z1‾,z_2=\overline{z_1}, since z1z2=10.z_1z_2=10. Then 1z1=110e−iθ\dfrac{1}{z_1}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{-i\theta} and 1z2=110eiθ.\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}e^{i\theta}.

The two vertical sides of this trapezoid have lengths 210sin⁡θ2\sqrt{10}\sin\theta and 2sin⁡θ10,\frac{2\sin\theta}{\sqrt{10}}, and their horizontal separation is (10−110)cos⁡θ.(\sqrt{10}-\frac{1}{\sqrt{10}})\cos\theta. Hence its area is 9910sin⁡θcos⁡θ=9920sin⁡2θ, \frac{99}{10}\sin\theta\cos\theta =\frac{99}{20}\sin2\theta, which is maximized at θ=45∘.\theta=45^\circ.

Then c=z1+z2c=z_1+z_2 =210cos⁡45∘=2\sqrt{10}\cos45^\circ =25≈4.47,=2\sqrt5\approx4.47, closest to 4.5.4.5.

Thus, the correct answer is A.

第 21 题#21
完整试卷
第 23 题#23

其他年份的第 22 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B