Question

实值函数 $f$ 满足：对所有实数 $a$ 和 $b$ ，

$\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b) \end{gathered}\text{。}$

以下哪一个不可能是 $f(1)$ 的值？

A real-valued function $f$ has the property that for all real numbers $a$ and $b,$

$\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b) \\ =2f(a)f(b). \end{gathered}$

Which one of the following cannot be the value of $f(1)?$

$0$

$1$

$-1$

$2$

$-2$

答案：E

知识点：函数方程极限情形界定

难度评级：2020

小提示：

令 $a=b=0$ 确定 $f(0)$ ，再令 $a=b$ 将 $f(2a)$ 与 $f(a)$ 联系起来

Set $a=b=0$ to pin down $f(0),$ then set $a=b$ to relate $f(2a)$ to $f(a)$

大提示：

由 $a=b$ ，得 $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1$ ；取 $a=\tfrac12$ 可给出 $f(1)$ 的下界

From $a=b,$ $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1;$ taking $a=\tfrac12$ bounds $f(1)$ from below

解答：

令 $a=b=0$ 得 $2f(0)=2f(0)^2$ ，所以 $f(0)=0$ 或 $f(0)=1$ 。如果 $f(0)=0$ ，则令 $b=0$ 可推出 $f\equiv 0$ ，此时 $f(1)=0$ 。否则 $f(0)=1$ ，令 $a=b$ 得 $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1$ 对每个 $a$ 都成立。特别地，取 $a=\tfrac12$ ，得 $f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1$ 。所以 $f(1)\ge -1$ ，而且 $[-1,\infty)$ 中的每个值都可达到（例如 $f(x)=\cos(kx)$ 或 $\cosh(kx)$ ）。因此 $-2$ 不可能。

因此，正确答案是 E。

Setting $a=b=0$ gives $2f(0)=2f(0)^2,$ so $f(0)=0$ or $f(0)=1.$ If $f(0)=0,$ then setting $b=0$ forces $f\equiv 0,$ giving $f(1)=0.$ Otherwise $f(0)=1,$ and setting $a=b$ gives $f(2a)=2f(a)^2-1\ge -1$ for every $a.$ In particular, with $a=\tfrac12,$ $f(1)=2f\!\left(\tfrac12\right)^2-1\ge -1.$ So $f(1)\ge -1,$ and indeed every value in $[-1,\infty)$ is attainable (e.g. $f(x)=\cos(kx)$ or $\cosh(kx)$ ). Hence $-2$ is impossible.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12B 第 22 题

答案：E

难度评级：2020

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题