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1971 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

若 ww 是 x3=1x^3=1 的一个虚根，则 (1−w+w2)(1+w−w2)(1-w+w^2)(1+w-w^2) 等于：

If ww is one of the imaginary roots of x3=1,x^3=1, then (1−w+w2)(1+w−w2)(1-w+w^2)(1+w-w^2) is equal to:

44

ww

22

w2w^2

11

答案：A
知识点：复数单位根因式分解
难度评级：1700
小提示：

利用 w2+w+1=0w^2+w+1=0

Use w2+w+1=0w^2+w+1=0

大提示：

把 1+w21+w^2 替换为 −w-w，把 1+w1+w 替换为 −w2-w^2

Replace 1+w21+w^2 by −w-w and 1+w1+w by −w2-w^2

解答：

由于 w≠1w\ne1 且 w3=1w^3=1，有 1+w+w2=01+w+w^2=0。因此 1−w+w2=−2w,1+w−w2=−2w2。 \begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2\text{。} \end{gathered} 两式之积为 4w3=44w^3=4。

因此，正确答案为 A。

Because w≠1w\ne1 and w3=1,w^3=1, we have 1+w+w2=0.1+w+w^2=0. Thus 1−w+w2=−2w,1+w−w2=−2w2. \begin{gathered} 1-w+w^2=-2w,\\ 1+w-w^2=-2w^2. \end{gathered} Their product is 4w3=4.4w^3=4.

Therefore, the correct answer is A.

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