Question

下列表达式的最大值是多少？

$\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}$

其中 $t$ 取遍所有实数。

What is the maximum value of

$\frac{(2^t - 3t)\,t}{4^t}$

for real values of $t?$

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac19$

答案：C

知识点：换元法二次方程最优化

难度评级：1860

小提示：

令 $u = \dfrac{t}{2^t}$ ，则 $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ 。

Let $u = \dfrac{t}{2^t};$ then $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$

大提示：

表达式变为 $u - 3u^2$ ，这是关于 $u$ 的开口向下抛物线。

The expression becomes $u - 3u^2,$ a downward parabola in $u$

解答：

拆开分式： $\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}$ 。令 $u = \dfrac{t}{2^t}$ ，则 $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ ，原式变为 $u - 3u^2$ 。

这个抛物线在 $u = \tfrac16$ 时取得最大值 $\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}$ 。由于 $u = \tfrac{t}{2^t}$ 连续且能取到 $\tfrac16$ ，该最大值确实可以达到。

所以正确答案是 C。

Split the fraction: $\dfrac{(2^t - 3t)t}{4^t} = \dfrac{t}{2^t} - \dfrac{3t^2}{4^t}.$ Let $u = \dfrac{t}{2^t},$ so $\dfrac{t^2}{4^t} = u^2$ and the expression is $u - 3u^2.$

This parabola has maximum at $u = \tfrac16,$ with value $\tfrac16 - 3\cdot\tfrac1{36} = \tfrac1{12}.$ Since $u = \tfrac{t}{2^t}$ is continuous and attains the value $\tfrac16,$ the maximum is achieved.

Thus, the correct answer is C.

2020 AMC 12B 第 22 题

答案：C

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题