Question

考虑两个函数 $\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b) \end{aligned}\text{，}$ 其中变量 $x$ 以及常数 $a$ 和 $b$ 都是实数。每一对这样的常数 $a$ 和 $b$ 都可以看作 $ab$ 平面内的一点 $(a,b)$ 。令 $S$ 为所有这类点 $(a,b)$ 的集合，使得 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图像在 $xy$ 平面内不相交。则 $S$ 的面积为

Consider the two functions $\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b), \end{aligned}$ where the variable $x$ and the constants $a$ and $b$ are real numbers. Each such pair of constants $a$ and $b$ may be considered as a point $(a,b)$ in an $ab$ -plane. Let $S$ be the set of such points $(a,b)$ for which the graphs of $y=f(x)$ and $y=g(x)$ do not intersect (in the $xy$ -plane). The area of $S$ is

$1$

$\pi$

$4$

$4\pi$

无穷大

infinite

答案：B

知识点：二次方程圆面积不等式

难度评级：2230

小提示：

令 $f(x)=g(x)$ ，并要求所得二次方程没有实根

Set $f(x)=g(x)$ and require the resulting quadratic to have no real roots

大提示：

将判别式为负的条件化简为关于 $a$ 和 $b$ 的条件

Simplify the negative-discriminant condition in terms of $a$ and $b$

解答：

交点对应于方程的实根： $x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0\text{。}$ 没有实根当且仅当其判别式为负： $\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $S$ 是 $ab$ 平面内单位圆的内部，面积为 $\pi$ 。

所以正确答案是 B。

Intersections correspond to roots of $x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0.$ There are no real roots exactly when its discriminant is negative: $\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0. \end{aligned}$ Thus $S$ is the interior of the unit circle in the $ab$ -plane, with area $\pi.$

Therefore, the correct answer is B.

1983 AMC 12 第 22 题

答案：B

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题