Question

设 $a$ 和 $c$ 为固定的正数。对每个实数 $t$ ，设 $(x_t,y_t)$ 为抛物线 $y=ax^2+tx+c$ 的顶点。若将顶点集合 $(x_t,y_t)$ （其中 $t$ 取所有实数）画在平面上，则所得图形是

Let $a$ and $c$ be fixed positive numbers. For each real number $t$ let $(x_t,y_t)$ be the vertex of the parabola $y=ax^2+tx+c.$ If the set of vertices $(x_t,y_t)$ for all real values of $t$ is graphed in the plane, the graph is

一条直线

a straight line

一条抛物线

a parabola

抛物线的一部分，但不是整条抛物线

part, but not all, of a parabola

双曲线的一支

one branch of a hyperbola

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：抛物线配方法坐标几何

难度评级：1960

小提示：

用 $t$ 表示顶点坐标

Write the vertex coordinates in terms of $t$

大提示：

利用 $x_t=-\frac{t}{2a}$ 将 $t$ 从 $y_t$ 中消去

Use $x_t=-\frac{t}{2a}$ to eliminate $t$ from $y_t$

解答：

顶点坐标为 $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}\text{。}$ 由于 $t=-2ax_t$ ，消去 $t$ 得到 $y_t=c-ax_t^2$ 。当 $t$ 遍历所有实数时， $x_t$ 也遍历所有实数，因此描出了整条抛物线。

所以正确答案是 B。

The vertex coordinates are $x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.$ Since $t=-2ax_t,$ eliminating $t$ gives $y_t=c-ax_t^2.$ As $t$ ranges over all reals, so does $x_t,$ so the entire parabola is traced.

Therefore, the correct answer is B.

1984 AMC 12 第 22 题

答案：B

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题