1998 AMC 12 第 22 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1998 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

下列表达式的值是多少？ $\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}\text{？} \end{aligned}$

What is the value of the expression $\begin{aligned} &\frac1{\log_2 100!}+\frac1{\log_3 100!}\\ &\quad+\frac1{\log_4 100!}+\cdots\\ &\qquad+\frac1{\log_{100}100!}? \end{aligned}$

$0.01$

$0.1$

$1$

$2$

$10$

答案：C

知识点：logarithms sums

难度评级：1630

小提示：

利用倒数恒等式 $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

Use the reciprocal identity $\frac{1}{\log_bx}=\log_xb$

大提示：

合并所得的 $2,3,\ldots,100$ 的对数

Combine the resulting logarithms of $2,3,\ldots,100$

解答：

每一项都等于 $\log_{100!}b$ 。因此总和为 $\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1 \end{aligned}\text{。}$ 所以正确答案是 C。

Each term equals $\log_{100!}b.$ Therefore the sum is $\begin{aligned} &\log_{100!}(2\cdot3\cdots100)\\ &\qquad=\log_{100!}(100!)=1. \end{aligned}$ Thus C is correct.

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