Question

数 $5^{867}$ 介于 $2^{2013}$ 和 $2^{2014}$ 之间。有多少对整数 $(m,n)$ 满足 $1\le m\le2012$ 且 $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}\text{？}$

The number $5^{867}$ is between $2^{2013}$ and $2^{2014}.$ How many pairs of integers $(m,n)$ are there such that $1\le m\le2012$ and $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}?$

$278$

$279$

$280$

$281$

$282$

答案：B

知识点：指数方程组

难度评级：2270

小提示：

在相邻的 $5^n$ 与 $5^{n+1}$ 之间，可能有两个或三个 $2$ 的幂。

Between consecutive powers $5^n$ and $5^{n+1}$ there are either two or three powers of $2$

大提示：

题目要求区间内有三个这样的幂；若 $d,t$ 分别表示含两个和三个二的幂的区间数，则 $d+t=867$ ，且 $2d+3t=2013$ 。

The inequality asks for three such powers; if $d,t$ count the two-power and three-power gaps, then $d+t=867$ and $2d+3t=2013$

解答：

因为 $2^2\lt5\lt2^3$ ，每个区间 $(5^n,5^{n+1})$ 内含有两个或三个 $2$ 的幂。不等式链 $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}$ 恰好在该区间含有三个连续的 $2$ 的幂时成立，而且此时 $m$ 唯一。

设 $d$ 和 $t$ 分别为 $0\le n\le866$ 时区间 $(5^n,5^{n+1})$ 内含两个和三个 $2$ 的幂的区间数。由于 $2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}$ ，这些区间内共有 $2013$ 个 $2$ 的幂，因此 $d+t=867$ ，且 $2d+3t=2013$ 。

解得 $t=2013-2\cdot867=279$ 。

所以正确答案是 B。

Because $2^2\lt5\lt2^3,$ each interval $(5^n,5^{n+1})$ contains either two or three powers of $2.$ The chain $5^n\lt2^m\lt2^{m+2}\lt5^{n+1}$ holds exactly when the interval contains three consecutive powers of $2,$ and then there is a unique such $m.$

Let $d$ and $t$ be the numbers of intervals $(5^n,5^{n+1})$ for $0\le n\le866$ containing two and three powers of $2,$ respectively. Since $2^{2013}\lt5^{867}\lt2^{2014}$ there are $2013$ powers of $2$ in total, giving $d+t=867$ and $2d+3t=2013.$

Solving, $t=2013-2\cdot867=279.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题