Question

设 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 为实数序列，使得对所有整数 $n \ge 0$ 都有 $(2 + i)^n = a_n + b_n i\text{，}$ 其中 $i = \sqrt{-1}$ 。求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n b_n}{7^n}\text{？}$

Let $(a_n)$ and $(b_n)$ be the sequences of real numbers such that $(2 + i)^n = a_n + b_n i$ for all integers $n \ge 0,$ where $i = \sqrt{-1}.$ What is $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n b_n}{7^n}?$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{4}{7}$

答案：B

知识点：复数求和

难度评级：2110

小提示：

$a_n b_n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((a_n + b_n i)^2\big)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)$

大提示：

因为 $(2 + i)^2 = 3 + 4i$ ，该和变成公比为 $\dfrac{3 + 4i}{7}$ 的等比级数

Since $(2 + i)^2 = 3 + 4i,$ the sum becomes a geometric series with ratio $\dfrac{3 + 4i}{7}$

解答：

因为 $(a_n + b_n i)^2 = a_n^2 - b_n^2 + 2 a_n b_n i$ ，所以 $a_n b_n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((3 + 4i)^n\big)$ 。

因此所求和为 $\tfrac12 \operatorname{Im} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3 + 4i}{7}\right)^n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{1 - \frac{3 + 4i}{7}}\right)$ 。

它等于 $\tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7}{4 - 4i}\right)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7(4 + 4i)}{32}\right)$ $= \tfrac12 \cdot \dfrac{28}{32}$ $= \dfrac{7}{16}$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $(a_n + b_n i)^2 = a_n^2 - b_n^2 + 2 a_n b_n i,$ we have $a_n b_n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((2 + i)^{2n}\big)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\big((3 + 4i)^n\big).$

Therefore the sum is $\tfrac12 \operatorname{Im} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3 + 4i}{7}\right)^n$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{1 - \frac{3 + 4i}{7}}\right).$

This equals $\tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7}{4 - 4i}\right)$ $= \tfrac12 \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{7(4 + 4i)}{32}\right)$ $= \tfrac12 \cdot \dfrac{28}{32}$ $= \dfrac{7}{16}.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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