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2006 AMC 12B 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

设 aa、bb、cc 为正整数，且 a+b+c=2006a + b + c = 2006，并且 a! b! c!=m⋅10na!\,b!\,c! = m \cdot 10^n，其中 mm 和 nn 为整数，且 mm 不能被 1010 整除。nn 的最小可能值是多少？

Suppose a,a, b,b, and cc are positive integers with a+b+c=2006,a + b + c = 2006, and a! b! c!=m⋅10n,a!\,b!\,c! = m \cdot 10^n, where mm and nn are integers and mm is not divisible by 10.10. What is the smallest possible value of n?n?

489489

492492

495495

498498

501501

答案：B
知识点：勒让德公式末尾零最优化
难度评级：2300
小提示：

因子 55 比因子 22 少，所以 nn 计数的是 a! b! c!a!\,b!\,c! 中因子 55 的个数。

Factors of 55 are scarcer than factors of 2,2, so nn counts the factors of 55 in a! b! c!a!\,b!\,c!

大提示：

对每个 55 的幂使用 ⌊x⌋+⌊y⌋\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +⌊z⌋≥⌊x+y+z⌋−2+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2。

Use ⌊x⌋+⌊y⌋\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor +⌊z⌋≥⌊x+y+z⌋−2+ \lfloor z \rfloor \ge \lfloor x + y + z \rfloor - 2 at each power of 55

解答：

因子 22 比因子 55 充足，所以 nn 等于 a! b! c!a!\,b!\,c! 中因子 55 的个数，即 n=∑k≥1(⌊a5k⌋+⌊b5k⌋+⌊c5k⌋)。n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right)\text{。}

对每个 kk，⌊a5k⌋+⌊b5k⌋\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor +⌊c5k⌋+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor ≥⌊20065k⌋−2\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2。对 k=1,2,3,4k = 1, 2, 3, 4 求和（因为 2006<552006 \lt 5^5），得到 n≥(401+80+16+3)−4⋅2=492。 \begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492 \end{aligned}\text{。}

等号可以达到，例如取 a=b=624a = b = 624、c=758c = 758。所以最小值为 492492。

因此，正确答案是 B。

Since factors of 22 are more plentiful than factors of 5,5, nn equals the number of factors of 55 in a! b! c!,a!\,b!\,c!, namely n=∑k≥1(⌊a5k⌋+⌊b5k⌋+⌊c5k⌋).n = \sum_{k \ge 1}\left(\left\lfloor \tfrac{a}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{b}{5^k}\right\rfloor + \left\lfloor \tfrac{c}{5^k}\right\rfloor\right).

For each k,k, ⌊a5k⌋+⌊b5k⌋\lfloor \frac{a}{5^k} \rfloor + \lfloor \frac{b}{5^k} \rfloor +⌊c5k⌋+ \lfloor \frac{c}{5^k} \rfloor ≥⌊20065k⌋−2.\ge \lfloor \frac{2006}{5^k} \rfloor - 2. Summing over k=1,2,3,4k = 1, 2, 3, 4 (as 2006<552006 \lt 5^5) gives n≥(401+80+16+3)−4⋅2=492. \begin{aligned} &n \ge (401 + 80 + 16 + 3) \\ &\quad {}- 4 \cdot 2 = 492. \end{aligned}

Equality is attainable, for example with a=b=624a = b = 624 and c=758.c = 758. So the minimum is 492.492.

Thus, the correct answer is B.

第 21 题#21
完整试卷
第 23 题#23

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