Question

设 $T_1$ 是边长为 $2011$ ， $2012$ 和 $2013$ 的三角形。对 $n\ge1$ ，若 $T_n=\triangle ABC$ ，且 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $\triangle ABC$ 的内切圆与边 $AB$ 、 $BC$ 、 $AC$ 的切点，那么若三角形存在， $T_{n+1}$ 的边长为 $AD$ 、 $BE$ 、 $CF$ 。序列 $(T_n)$ 中最后一个三角形的周长是多少？

Let $T_1$ be a triangle with sides $2011,$ $2012,$ and $2013.$ For $n\ge1,$ if $T_n=\triangle ABC$ and $D,$ $E,$ and $F$ are the points of tangency of the incircle of $\triangle ABC$ to the sides $AB,$ $BC,$ and $AC,$ respectively, then $T_{n+1}$ is a triangle with side lengths $AD,$ $BE,$ and $CF,$ if it exists. What is the perimeter of the last triangle in the sequence $(T_n)?$

$\dfrac{1509}{8}$

$\dfrac{1509}{32}$

$\dfrac{1509}{64}$

$\dfrac{1509}{128}$

$\dfrac{1509}{256}$

答案：D

知识点：内切圆、内心与内切圆半径递推三角不等式

难度评级：2350

小提示：

切线段长度满足 $AD=\tfrac12(b+c-a)$ ， $BE$ 与 $CF$ 类似。

The tangent lengths satisfy $AD=\tfrac12(b+c-a),$ and similarly for $BE$ and $CF$

大提示：

每个三角形保持 $(y-1,y,y+1)$ 的形式，且 $y$ 每次减半；当 $y\le2$ 时不满足三角形不等式。

Each triangle keeps the form $(y-1,y,y+1)$ with $y$ halving; it fails the triangle inequality once $y\le2$

解答：

对边长为 $a,b,c$ 的三角形，切线段长度为 $AD=\tfrac12(b+c-a)$ 、 $BE=\tfrac12(a+c-b)$ 、 $CF=\tfrac12(a+b-c)$ 。若 $T_n$ 的边长为 $(y-1,y,y+1)$ ，则 $T_{n+1}$ 的边长为 $\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right)$ 。

从中间边为 $2012$ 的 $T_1$ 开始，中间边每步减半，且 $T_{n+1}$ 的周长是 $T_n$ 周长的 $\tfrac12$ 。这种形式的三角形存在当且仅当中间边大于 $2$ 。

$T_n$ 的中间边为 $\dfrac{2012}{2^{n-1}}$ 。它在 $n=11$ 时第一次不超过 $2$ ，所以最后一个有效三角形是 $T_{10}$ ，其中间边为 $\dfrac{2012}{2^9}$ ，周长为 $3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}\text{。}$

所以正确答案是 D。

For a triangle with sides $a,b,c,$ the tangent lengths are $AD=\tfrac12(b+c-a),$ $BE=\tfrac12(a+c-b),$ and $CF=\tfrac12(a+b-c).$ If $T_n$ has sides $(y-1,y,y+1),$ then $T_{n+1}$ has sides $\left(\tfrac{y}{2}-1,\tfrac{y}{2},\tfrac{y}{2}+1\right).$

Starting from $T_1$ with middle side $2012,$ the middle side halves each step and the perimeter of $T_{n+1}$ is $\tfrac12$ the perimeter of $T_n.$ A triangle of this form exists only while its middle side exceeds $2.$

The middle side of $T_n$ is $\dfrac{2012}{2^{n-1}}.$ This first drops to $2$ or below at $n=11,$ so the last valid triangle is $T_{10},$ whose middle side is $\dfrac{2012}{2^9}$ and whose perimeter is $3\cdot\dfrac{2012}{2^9}=\dfrac{6036}{512}=\dfrac{1509}{128}.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B 第 22 题

答案：D

难度评级：2350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题