Question

两个不同正整数 $x$ 和 $y$ 的算术平均数是一个两位整数。 $x$ 和 $y$ 的几何平均数等于把这个算术平均数的两位数字颠倒后得到的数。 $|x-y|$ 是多少？

The arithmetic mean of two distinct positive integers $x$ and $y$ is a two-digit integer. The geometric mean of $x$ and $y$ is obtained by reversing the digits of the arithmetic mean. What is $|x-y|?$

$24$

$48$

$54$

$66$

$70$

答案：D

知识点：平方差完全平方数数字

难度评级：2180

小提示：

将算术平均数写成 $10a+b$ ，几何平均数写成 $10b+a$ 。

Write the arithmetic mean as $10a+b$ and the geometric mean as $10b+a$

大提示：

计算 $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$ ；它可分解为 $396(a+b)(a-b)$ 。

Compute $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy;$ it factors as $396(a+b)(a-b)$

解答：

设算术平均数为 $10a+b$ ，几何平均数为 $10b+a$ ，则 $x+y=2(10a+b)$ ，且 $xy=(10b+a)^2$ 。

因此 $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b) \end{aligned}\text{。}$ 由于对两个不相等的正数，算术平均数大于几何平均数，所以 $a>b$ 。令 $u=a-b$ ， $v=a+b$ 。于是 $1\le u\le9$ 且 $1\le v\le17$ 。要使 $11uv$ 为完全平方数， $uv$ 中必须含有奇数次幂的 $11$ 。因此 $v=11$ ，这是因为 $u<11$ 且 $v<22$ 。此时 $11uv=121u$ 是完全平方数，所以 $u$ 也是完全平方数。又因为 $u$ 与 $v$ 的奇偶性相同，只剩下 $u=1$ 或 $9$ 。后者给出 $a=10$ ，它不是一位数字，所以 $u=1$ ，从而 $(a,b)=(6,5)$ 。

于是 $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2$ ，所以 $|x-y|=66$ 。（确实有 $\{x,y\}=\{32,98\}$ 。）

所以正确答案是 D。

Let the arithmetic mean be $10a+b$ and the geometric mean be $10b+a.$ Then $x+y=2(10a+b)$ and $xy=(10b+a)^2.$

Therefore $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ Since the arithmetic mean exceeds the geometric mean for distinct positive numbers, $a>b.$ Put $u=a-b$ and $v=a+b.$ Then $1\le u\le9$ and $1\le v\le17.$ For $11uv$ to be a square, $uv$ must contain an odd power of $11.$ Therefore $v=11,$ because $u<11$ and $v<22.$ Now $11uv=121u$ is a square, so $u$ is a square. Also $u$ and $v$ have the same parity, leaving $u=1$ or $9.$ The latter gives $a=10,$ not a digit, so $u=1$ and $(a,b)=(6,5).$

Then $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ so $|x-y|=66.$ (Indeed $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B 第 21 题

答案：D

难度评级：2180

小提示：

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解答：

其他年份的第 21 题