1964 AMC 12 第 21 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1964 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

若 $\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1$ ，其中 $b\gt0$ 、 $b\ne1$ 且 $x\ne1$ ，则 $x$ 等于：

If $\log_{b^2}x+\log_{x^2}b=1,$ where $b\gt0,$ $b\ne1,$ and $x\ne1,$ then $x$ equals:

$\dfrac1{b^2}$

$\dfrac1b$

$b^2$

$b$

$\sqrt b$

答案：D

知识点：对数换元法代数变形

难度评级：1450

小提示：

令 $t=\log_bx$

Let $t=\log_bx$

大提示：

方程化为 $\frac t2+\frac1{2t}=1$

The equation becomes $\frac t2+\frac1{2t}=1$

解答：

令 $t=\log_bx$ 。则 $\log_{b^2}x=\frac{t}{2}$ 且 $\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}$ 。因此 $t+\frac1t=2\text{，}$ 所以 $(t-1)^2=0$ 且 $t=1$ 。故 $x=b$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $t=\log_bx.$ Then $\log_{b^2}x=\frac{t}{2}$ and $\log_{x^2}b=\frac{1}{2t}.$ Thus $t+\frac1t=2,$ so $(t-1)^2=0$ and $t=1.$ Hence $x=b.$

Therefore, the correct answer is D.

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