Question

在一个给定的等腰直角三角形中内接正方形，有两种自然的方式。若按下图 $1$ 所示的方式内接，则正方形的面积为 $441\text{ cm}^2$ 。问面积以 $\text{cm}^2$ 为单位时，在同一个 $\triangle ABC$ 中按下图 $2$ 所示方式内接的正方形面积是多少？

There are two natural ways to inscribe a square in a given isosceles right triangle. If it is done as in Figure $1$ below, then one finds that the area of the square is $441\text{ cm}^2.$ What is the area (in $\text{cm}^2$ ) of the square inscribed in the same $\triangle ABC$ as shown in Figure $2$ below?

$378$

$392$

$400$

$441$

$484$

答案：B

知识点：similar triangles inscribed square area scaling

难度评级：1980

小提示：

利用图 $1$ 求出这个等腰直角三角形的直角边长

Use Figure $1$ to determine the leg length of the isosceles right triangle

大提示：

在图 $2$ 中，比较倾斜正方形的边长与其对边在两条等长直角边上截出的线段

In Figure $2,$ compare the side of the tilted square with the two equal leg segments cut off by its opposite side

解答：

第一个正方形的边长为 $21$ ，所以三角形的两条直角边长均为 $42$ 。设倾斜正方形的边长为 $s$ 。位于斜边上的那条边与连接两条直角边的对边平行。这条对边的两个端点为 $(0,k)$ 和 $(k,0)$ ，所以 $s=k\sqrt2$ 。平行直线 $x+y=k$ 与 $x+y=42$ 之间的距离也等于 $s$ ，因此 $s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}\text{。}$ 由此 $s=14\sqrt2$ ，正方形的面积为 $s^2=392$ 。

因此，正确答案是 B。

The first square has side $21,$ so the triangle’s legs have length $42.$ Let $s$ be the side of the tilted square. Its side on the hypotenuse is parallel to the opposite side joining the legs. That opposite side has endpoints $(0,k)$ and $(k,0),$ so $s=k\sqrt2.$ The distance between the parallel lines $x+y=k$ and $x+y=42$ is also $s,$ giving $s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.$ Hence $s=14\sqrt2,$ and its area is $s^2=392.$

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题