Question

函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的零点之和、零点之积以及系数之和都相等。它们的公共值还必须等于下列哪一项？

The sum of the zeros, the product of the zeros, and the sum of the coefficients of the function $f(x)=ax^2+bx+c$ are equal. Their common value must also be which of the following?

$x^2$ 的系数

the coefficient of $x^2$

$x$ 的系数

the coefficient of $x$

图像 $y=f(x)$ 的 $y$ 截距

the $y$ -intercept of the graph of $y=f(x)$

图像 $y=f(x)$ 的一个 $x$ 截距

one of the $x$ -intercepts of the graph of $y=f(x)$

图像 $y=f(x)$ 的 $x$ 截距的平均数

the mean of the $x$ -intercepts of the graph of $y=f(x)$

答案：A

知识点：韦达定理二次方程

难度评级：1660

小提示：

对 $ax^2+bx+c$ ，零点之和为 $-\tfrac ba$ ，零点之积为 $\tfrac ca$ 。

For $ax^2+bx+c,$ the sum of zeros is $-\tfrac ba$ and the product is $\tfrac ca$

大提示：

令它们相等得到 $c=-b$ ，所以系数之和 $a+b+c$ 会化简。

Setting these equal gives $c=-b,$ so the sum of coefficients $a+b+c$ simplifies

解答：

零点之积为 $\tfrac ca$ ，零点之和为 $-\tfrac ba$ 。令它们相等，得 $c=-b$ 。

于是系数之和为 $a+b+c=a$ ，这就是 $x^2$ 的系数。

其他选项一般不成立：例如 $f(x)=-2x^2-4x+4$ 的公共值为 $-2$ ，但 $x$ 的系数是 $-4$ ， $y$ 截距是 $4$ ， $x$ 截距是 $-1\pm\sqrt3$ ，它们的平均数是 $-1$ 。

因此，正确答案是 A。

The product of the zeros is $\tfrac ca$ and the sum of the zeros is $-\tfrac ba.$ Equating them gives $c=-b.$

Then the sum of the coefficients is $a+b+c=a,$ which is the coefficient of $x^2.$

The other choices fail in general: for $f(x)=-2x^2-4x+4$ the common value is $-2,$ but the coefficient of $x$ is $-4,$ the $y$ -intercept is $4,$ the $x$ -intercepts are $-1\pm\sqrt3,$ and their mean is $-1.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题