Question

一个半径为 $r$ 的圆经过椭圆 $x^2 + 16y^2 = 16$ 的两个焦点，并且恰好经过该椭圆上的四个点。所有可能的 $r$ 组成区间 $[a, b)$ 。求 $a + b$ ？

A circle of radius $r$ passes through both foci of, and exactly four points on, the ellipse with equation $x^2 + 16y^2 = 16.$ The set of all possible values of $r$ is an interval $[a, b).$ What is $a + b?$

$5\sqrt{2} + 4$

$\sqrt{17} + 7$

$6\sqrt{2} + 3$

$\sqrt{15} + 8$

$12$

答案：D

知识点：椭圆圆坐标几何

难度评级：2170

小提示：

椭圆为 $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1$ ，焦点在 $(\pm\sqrt{15}, 0)$

The ellipse is $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1,$ with foci at $(\pm\sqrt{15}, 0)$

大提示：

经过两个焦点的圆心在 $(0, k)$ ；要求它的最低点在椭圆外部

A circle through both foci is centered at $(0, k);$ require its bottom point to lie outside the ellipse

解答：

椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1$ 的半轴长为 $4$ 和 $1$ ，所以 $c^2 = 16 - 1 = 15$ ，焦点为 $(\pm\sqrt{15}, 0)$ 。

经过两个焦点的圆的圆心在 $y$ -轴上，设为 $(0, k)$ ，半径为 $\sqrt{k^2 + 15}$ 。它的最高点总在椭圆外。要有四个交点，它的最低点 $(0, k - \sqrt{k^2 + 15})$ 必须低于 $y = -1$ ，这恰好在 $0 \le k \lt 7$ 时发生。

当 $k$ 在 $[0, 7)$ 中变化时，半径 $\sqrt{k^2 + 15}$ 的取值范围为 $[\sqrt{15}, 8)$ ，所以 $a + b = \sqrt{15} + 8$ 。

因此，正确答案是 D。

The ellipse $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1$ has semi-axes $4$ and $1,$ so $c^2 = 16 - 1 = 15$ and the foci are $(\pm\sqrt{15}, 0).$

A circle through both foci has its center on the $y$ -axis, say $(0, k),$ with radius $\sqrt{k^2 + 15}.$ Its top point always lies outside the ellipse. For four intersection points, its bottom point $(0, k - \sqrt{k^2 + 15})$ must be below $y = -1,$ which happens exactly when $0 \le k \lt 7.$

As $k$ ranges over $[0, 7),$ the radius $\sqrt{k^2 + 15}$ ranges over $[\sqrt{15}, 8),$ so $a + b = \sqrt{15} + 8.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12A 第 21 题

答案：D

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

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