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2025 AMC 12B 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

两个不全等三角形面积相同。每个三角形都有两条边长为 88 和 99，并且第三边的长度是整数。求这两个第三边长度的和。

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length 88 and 9,9, and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

2020

2222

2424

2626

2828

答案：C
知识点：余弦定理三角形面积三角不等式
难度评级：2170
小提示：

若边长 88 和 99 的夹角为 θ\theta，面积为 36sin⁡θ36\sin\theta，所以相同面积来自 θ\theta 与 180∘−θ180^\circ - \theta。

With sides 88 and 99 and included angle θ,\theta, the area is 36sin⁡θ,36\sin\theta, so equal areas come from θ\theta and 180∘−θ180^\circ - \theta

大提示：

由余弦定理，两个第三边满足 t2=145∓144cos⁡θt^2 = 145 \mp 144\cos\theta，所以 t12+t22=290t_1^2 + t_2^2 = 290

By the law of cosines the third sides satisfy t2=145∓144cos⁡θ,t^2 = 145 \mp 144\cos\theta, so t12+t22=290t_1^2 + t_2^2 = 290

解答：

夹角为 θ\theta 时，面积为 36sin⁡θ36\sin\theta，因此两个等面积三角形的夹角为 θ\theta 和 180∘−θ180^\circ - \theta，余弦分别为 ±cos⁡θ\pm\cos\theta。由余弦定理，第三边满足 t2=145∓144cos⁡θt^2 = 145 \mp 144\cos\theta，因此 t12+t22=290t_1^2 + t_2^2 = 290。因为 290≡2(mod8)290\equiv2\pmod8，所以两条整数边都必须是奇数。在三角形不等式给出的范围 1<t<171\lt t\lt17 内检查各个奇数的平方，只剩下 112+132=121+169=29011^2+13^2=121+169=290。因此这两条第三边的长度之和为 2424。

所以正确答案是 C。

The area with included angle θ\theta is 36sin⁡θ,36\sin\theta, so two triangles of equal area use angles θ\theta and 180∘−θ,180^\circ - \theta, with cosines ±cos⁡θ.\pm\cos\theta. By the law of cosines the third sides satisfy t2=145∓144cos⁡θ,t^2 = 145 \mp 144\cos\theta, hence t12+t22=290.t_1^2 + t_2^2 = 290. Since 290≡2(mod8),290\equiv2\pmod8, both integer sides must be odd. Checking the odd squares in the triangle-inequality range 1<t<171\lt t\lt17 leaves only 112+132=121+169=290.11^2+13^2=121+169=290. Therefore the sum is 24.24.

Thus, the correct answer is C.

第 20 题#20
完整试卷
第 22 题#22

其他年份的第 21 题

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