Question

设 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是正整数，满足 $a \ge b \ge c$ ，并且 $a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011$ 以及 $\begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997\text{。} \end{aligned}$

求 $a$ ？

Let $a,$ $b,$ and $c$ be positive integers with $a \ge b \ge c$ such that $a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011$ and $\begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997. \end{aligned}$

What is $a?$

$249$

$250$

$251$

$252$

$253$

答案：E

知识点：代数变形方程组丢番图方程

难度评级：2090

小提示：

将两个方程相加，得到一个简洁的对称表达式

Add the two equations to get a clean symmetric expression

大提示：

和式化简为 $(a-b)^2$ $+ (b-c)^2$ $+ (c-a)^2 = 14$ ，且 $14 = 3^2 + 2^2 + 1^2$ 是唯一方式

The sum simplifies to $(a-b)^2$ $+ (b-c)^2$ $+ (c-a)^2 = 14,$ and $14 = 3^2 + 2^2 + 1^2$ uniquely

解答：

将两个方程相加，得到 $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$ $- 2ab - 2bc - 2ca = 14$ ，即 $\begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14 \end{aligned}\text{。}$

将 $14$ 写成三个平方数之和的唯一方式是 $9 + 4 + 1$ 。由于 $a \ge b \ge c$ ，有 $a - c = 3$ ，且 $(a-b, b-c) = (2,1)$ 或 $(1,2)$ 。

将 $(a, b, c) = (c+3, c+1, c)$ 代入第一个方程，得到 $3(2c+3) + 2(c+1) = 2011$ ，所以 $c = 250$ ， $(a, b, c) = (253, 251, 250)$ 。另一种情况没有整数解。

因此，正确答案是 E。

Adding the two equations gives $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$ $- 2ab - 2bc - 2ca = 14,$ that is, $\begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14. \end{aligned}$

The only way to write $14$ as a sum of three squares is $9 + 4 + 1.$ Since $a \ge b \ge c,$ we get $a - c = 3,$ with either $(a-b, b-c) = (2,1)$ or $(1,2).$

Substituting $(a, b, c) = (c+3, c+1, c)$ into the first equation gives $3(2c+3) + 2(c+1) = 2011,$ so $c = 250$ and $(a, b, c) = (253, 251, 250).$ The other case has no integer solution.

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12A 第 21 题

答案：E

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题