Question

设 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\ldots$ 、 $a_k$ 是一个有限等差数列，满足

$a_4+a_7+a_{10}=17$

且

$\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77 \end{aligned}\text{。}$ 若 $a_k=13$ ，则 $k=$

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_k$ be a finite arithmetic sequence with

$a_4+a_7+a_{10}=17$

and

$\begin{aligned} &a_4+a_5+a_6+\cdots+a_{12}\\ &\quad{}+a_{13}+a_{14}=77. \end{aligned}$ If $a_k=13,$ then $k=$

$16$

$18$

$20$

$22$

$24$

答案：B

知识点：等差数列 symmetric averages common difference

难度评级：1780

小提示：

利用中间项求出 $a_7$ 和 $a_9$ 。

Use the middle terms to find $a_7$ and $a_9$

大提示：

$a_7$ 与 $a_9$ 的差可确定公差。

The difference between $a_7$ and $a_9$ determines the common difference

解答：

因为等差数列中关于某项对称的各项平均值等于该中间项，所以 $3a_7=17,\qquad 11a_9=77\text{。}$ 因此 $a_7=\frac{17}{3}$ 、 $a_9=7$ ，公差为 $d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}$ 。由于 $13-7=6=9d$ ，有 $a_k=a_{9+9}=a_{18}$ 。故正确答案是 B。

Because symmetric terms of an arithmetic sequence average to the middle term, $3a_7=17,\qquad 11a_9=77.$ Thus $a_7=\frac{17}{3}$ and $a_9=7,$ so the common difference is $d=\frac{7-\frac{17}{3}}{2}=\frac{2}{3}.$ Since $13-7=6=9d,$ we have $a_k=a_{9+9}=a_{18}.$ Thus the correct answer is B.

1993 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题