Question

在右图中，三角形 $ABC$ 是满足 $\angle BCA=90^\circ$ 的直角三角形。中线 $CM$ 垂直于中线 $BN$ ，且边 $BC=s$ 。则 $BN$ 的长度为

In the adjoining figure, the triangle $ABC$ is a right triangle with $\angle BCA=90^\circ.$ Median $CM$ is perpendicular to median $BN,$ and side $BC=s.$ The length of $BN$ is

$s\sqrt2$

$\frac32s\sqrt2$

$2s\sqrt2$

$\frac{s\sqrt5}{2}$

$\frac{s\sqrt6}{2}$

答案：E

知识点：中线（几何）坐标几何向量直角三角形

难度评级：2150

小提示：

取 $C=(0,0)$ 、 $B=(0,s)$ ，且 $A=(t,0)$

Place $C=(0,0),$ $B=(0,s),$ and $A=(t,0)$

大提示：

对两条中线的方向向量使用点积

Use a dot product for the directions of the two medians

解答：

取 $C=(0,0)$ 、 $B=(0,s)$ ，且 $A=(t,0)$ 。则 $M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})$ ，且 $N=(\frac{t}{2},0)$ 。由垂直关系得 $(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0$ ，从而 $t^2=2s^2$ 。因此 $\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案为 E。

Set $C=(0,0),$ $B=(0,s),$ and $A=(t,0).$ Then $M=(\frac{t}{2},\frac{s}{2})$ and $N=(\frac{t}{2},0).$ Perpendicularity gives $(\frac{t}{2},\frac{s}{2})\cdot(\frac{t}{2},-s)=0,$ hence $t^2=2s^2.$ Therefore $\begin{aligned} BN&=\sqrt{(\frac{t}{2})^2+s^2}\\ &=\sqrt{\frac{s^2}{2}+s^2}\\ &=\frac{s\sqrt6}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

1982 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题