Question

对多少个系数 $a$ 的取值，方程 $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ 有公共实数解？

For how many values of the coefficient $a$ do the equations $\begin{aligned} x^2+ax+1&=0,\\ x^2-x-a&=0 \end{aligned}$ have a common real solution?

$0$

$1$

$2$

$3$

无穷多个

infinitely many

答案：B

知识点：二次方程方程组因式分解

难度评级：2040

小提示：

将两个方程相减，得到一个可因式分解的条件

Subtract the two equations to obtain a factored condition

大提示：

分别检验 $a=-1$ 和 $x=-1$ 两种情形

Check separately the cases $a=-1$ and $x=-1$

解答：

用第一个方程减去第二个方程，得到 $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0 \end{gathered}\text{。}$ 若 $a=-1$ ，两个方程均化为 $x^2-x+1=0$ ，它没有实根。否则 $x=-1$ ，代入 $x^2-x-a=0$ 得 $a=2$ 。这个值确实满足条件，所以恰有一个 $a$ 的取值符合要求。

因此，正确答案是 B。

Subtracting the second equation from the first gives $\begin{gathered} (a+1)x+(a+1)\\ =(a+1)(x+1)=0. \end{gathered}$ If $a=-1,$ the common equation is $x^2-x+1=0,$ which has no real roots. Otherwise $x=-1,$ and substitution into $x^2-x-a=0$ gives $a=2.$ This value works, so exactly one value of $a$ qualifies.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题