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2021 AMC 12A Fall 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

设 ABCDABCD 是等腰梯形，满足 BC‾∥AD‾\overline{BC} \parallel \overline{AD} 且 AB=CDAB = CD。点 XX 和 YY 在对角线 AC‾\overline{AC} 上，且 XX 在 AA 和 YY 之间，如图所示。已知 ∠AXD=∠BYC=90∘\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ、AX=3AX = 3、XY=1XY = 1，且 YC=2YC = 2。ABCDABCD 的面积是多少？

Let ABCDABCD be an isosceles trapezoid with BC‾∥AD‾\overline{BC} \parallel \overline{AD} and AB=CD.AB = CD. Points XX and YY lie on diagonal AC‾\overline{AC} with XX between AA and Y,Y, as shown in the figure. Suppose ∠AXD=∠BYC=90∘,\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ, AX=3,AX = 3, XY=1,XY = 1, and YC=2.YC = 2. What is the area of ABCD?ABCD?

1515

5115\sqrt{11}

3353\sqrt{35}

1818

777\sqrt{7}

答案：C
知识点：坐标几何梯形鞋带公式
难度评级：2170
小提示：

把 A,X,Y,CA, X, Y, C 放在一条水平线上，且 AX=3AX = 3、XY=1XY = 1、YC=2YC = 2。于是 DD 在 XX 的竖直下方，BB 在 YY 的竖直上方

Place A,X,Y,CA, X, Y, C on a horizontal line with AX=3,AX = 3, XY=1,XY = 1, YC=2.YC = 2. Then DD is vertically below XX and BB vertically above YY

大提示：

利用 BC‾∥AD‾\overline{BC}\parallel\overline{AD} 和 AB=CDAB = CD 关联 BB 与 DD 的高度，再用鞋带公式

Use BC‾∥AD‾\overline{BC}\parallel\overline{AD} and AB=CDAB = CD to relate the heights of BB and D,D, then apply the shoelace formula

解答：

令 A=(0,0)A = (0,0)，X=(3,0)X = (3,0)，Y=(4,0)Y = (4,0)，C=(6,0)C = (6,0)。直角条件给出 D=(3,t)D = (3, t)，且 B=(4,s)B = (4, s)，它们在 ACAC 的两侧。

平行关系 AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} 强制 t=−32st = -\tfrac{3}{2}s，而 AB=CDAB = CD 给出 16+s2=9+t216 + s^2 = 9 + t^2，所以 t2−s2=7t^2 - s^2 = 7。代入得 s2=285s^2 = \tfrac{28}{5}。

鞋带公式给出面积 =3 ∣t−s∣= 3\,|t - s| =3⋅52s= 3\cdot\tfrac{5}{2}s =152s= \tfrac{15}{2}s =152285= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}} =335= 3\sqrt{35}。

所以正确答案是 C。

Put A=(0,0),A = (0,0), X=(3,0),X = (3,0), Y=(4,0),Y = (4,0), C=(6,0).C = (6,0). The right angles give D=(3,t)D = (3, t) and B=(4,s)B = (4, s) on opposite sides of AC.AC.

Parallelism AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC} forces t=−32s,t = -\tfrac{3}{2}s, and AB=CDAB = CD gives 16+s2=9+t2,16 + s^2 = 9 + t^2, so t2−s2=7.t^2 - s^2 = 7. Substituting yields s2=285.s^2 = \tfrac{28}{5}.

The shoelace formula gives area =3 ∣t−s∣= 3\,|t - s| =3⋅52s= 3\cdot\tfrac{5}{2}s =152s= \tfrac{15}{2}s =152285= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}} =335.= 3\sqrt{35}.

Thus, the correct answer is C.

第 20 题#20
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第 22 题#22

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