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2012 AMC 12B 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

正方形 AXYZAXYZ 内接于等角六边形 ABCDEFABCDEF，其中 XX 在 BC‾\overline{BC}，YY 在 DE‾\overline{DE}，且 ZZ 在 EF‾\overline{EF}。已知 AB=40AB = 40 且 EF=41(3−1)EF = 41(\sqrt{3} - 1)。正方形的边长是多少？

Square AXYZAXYZ is inscribed in equiangular hexagon ABCDEFABCDEF with XX on BC‾,\overline{BC}, YY on DE‾,\overline{DE}, and ZZ on EF‾.\overline{EF}. Suppose that AB=40AB = 40 and EF=41(3−1).EF = 41(\sqrt{3} - 1). What is the side-length of the square?

29329\sqrt{3}

2122+4123\dfrac{21}{2}\sqrt{2} + \dfrac{41}{2}\sqrt{3}

203+1620\sqrt{3} + 16

202+13320\sqrt{2} + 13\sqrt{3}

21621\sqrt{6}

答案：A
知识点：等角多边形全等（几何）勾股定理
难度评级：2170
小提示：

从正方形顶点 AA 向过 AA 且垂直于平行边 EFEF 和 CBCB 的直线作辅助线

Drop the square’s vertex AA onto a line through AA perpendicular to the parallel sides EFEF and CBCB

大提示：

设 u=BXu=BX；等角六边形中的 60∘60^\circ 角给出全等的角部三角形，于是用 uu 表示 EFEF，再求边长 s2=(20+u)2+(203)2s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2

Let u=BX;u=BX; the equiangular 60∘60^\circ angles give congruent corner triangles, so express EFEF in terms of uu and solve for the side s2=(20+u)2+(203)2s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2

解答：

延长 EFEF 和 CBCB，并过 AA 作一条同时垂直于它们的直线，交点分别为 HH 和 JJ。 因为 ∠ABJ=60∘\angle ABJ=60^\circ 有 BJ=20BJ=20 且 AJ=203AJ=20\sqrt3。 令 u=BXu=BX， 勾股定理给出 s2=(20+u)2+(203)2s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2。

等角条件使四个角部三角形全等，沿 EFEF 追踪相等线段可得 u+203=41(3−1)+20+u3， \begin{aligned} u+20\sqrt3 &= 41(\sqrt3-1) \\ &\quad {}+\frac{20+u}{\sqrt3}\text{，} \end{aligned} 所以 u=213−20u=21\sqrt3-20。

因为 20+u=21320+u=21\sqrt3，所以 s2=(213)2+(203)2=3(441+400)=3⋅292， \begin{aligned} s^2 &= (21\sqrt3)^2+(20\sqrt3)^2 \\ &= 3(441+400)=3\cdot29^2\text{，} \end{aligned} 因此 s=293s=29\sqrt3。

因此正确答案是 A。

Extend EFEF and CBCB to a line through AA perpendicular to both, meeting them at HH and J.J. Since ∠ABJ=60∘,\angle ABJ=60^\circ, we have BJ=20BJ=20 and AJ=203.AJ=20\sqrt3. With u=BX,u=BX, the Pythagorean theorem gives s2=(20+u)2+(203)2.s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2.

The equiangular angles make the four corner triangles congruent, and chasing the equal segments along EFEF yields u+203=41(3−1)+20+u3, \begin{aligned} u+20\sqrt3 &= 41(\sqrt3-1) \\ &\quad {}+\frac{20+u}{\sqrt3}, \end{aligned} so u=213−20.u=21\sqrt3-20.

Since 20+u=213,20+u=21\sqrt3, we get s2=(213)2+(203)2=3(441+400)=3⋅292, \begin{aligned} s^2 &= (21\sqrt3)^2+(20\sqrt3)^2 \\ &= 3(441+400)=3\cdot29^2, \end{aligned} giving s=293.s=29\sqrt3.

Thus, the correct answer is A.

第 20 题#20
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第 22 题#22

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